🔵🔴 Το Θεώρημα των Κύκλων του Johnson — Ο τέταρτος κύκλος

🔵🔴 Το Θεώρημα των Κύκλων του Johnson

Φανταστείτε τρεις ίσους κύκλους που περνούν όλοι από το ίδιο σημείο \(H\). Κάθε ζεύγος κύκλων τέμνεται και σε ένα δεύτερο σημείο. Ας ονομάσουμε αυτά τα τρία σημεία \(A\), \(B\) και \(C\).

Τώρα περνάμε έναν κύκλο από τα \(A,B,C\).

Το εντυπωσιακό είναι ότι δεν χρειάζεται να επιλέξουμε την ακτίνα του: είναι αναγκαστικά ίση με την ακτίνα των τριών αρχικών κύκλων!

📐 Θεώρημα του Johnson

Αν τρεις κύκλοι ίσης ακτίνας \(r\) περνούν από ένα κοινό σημείο \(H\), τότε ο κύκλος που περνά από τα άλλα τρία ανά δύο σημεία τομής τους \(A,B,C\) έχει επίσης ακτίνα \[ \boxed{r}. \]

Με άλλα λόγια, ο κόκκινος κύκλος του σχήματος δεν «έτυχε» να ταιριάξει. Η γεωμετρία επιβάλλει να έχει ακριβώς το ίδιο μέγεθος με τους τρεις μπλε κύκλους.

🧠 Πρόκληση

Μπορείτε να αποδείξετε το θεώρημα χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδη Ευκλείδεια Γεωμετρία;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Ονομάστε \(O_1,O_2,O_3\) τα κέντρα των τριών ίσων κύκλων.

Εξετάστε τα τετράπλευρα που δημιουργούνται από το κοινό σημείο \(H\), ένα από τα σημεία \(A,B,C\) και τα κέντρα των δύο αντίστοιχων κύκλων.

Όλες οι κατάλληλες πλευρές έχουν μήκος \(r\). Αναζητήστε λοιπόν ρόμβους και παραλληλόγραμμα και συγκρίνετε το τρίγωνο \(ABC\) με το τρίγωνο \(O_1O_2O_3\).

📜 Ιστορική σημείωση: Το αποτέλεσμα δημοσιεύθηκε από τον Roger A. Johnson το 1916 και είναι σήμερα γνωστό ως Johnson's Circle Theorem.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →