🛁 Μια αποκάλυψη στο μπάνιο
Το 1937-38, ο Samuel Isaac Krieger, Γερμανοεβραίος μετανάστης στο Σικάγο που παρουσιαζόταν ως «μαθηματικό θαύμα», πήδηξε από ένα ορυκτό λουτρό κοντά στο Μπάφαλο και έτρεξε, βρεγμένος, να σημειώσει κάτι που πίστευε πως είχε ανακαλύψει: μια λύση στην εξίσωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.
Ισχυρίστηκε πως είχε βρει έναν φυσικό αριθμό \(n>2\) για τον οποίο ίσχυε \(1324^n+731^n=1961^n\) — αλλά αρνήθηκε να αποκαλύψει ποιος ήταν αυτός ο αριθμός, τηλεγραφώντας αμέσως στο Πανεπιστήμιο του Göttingen για να ρωτήσει αν το χρηματικό βραβείο Wolfskehl εξακολουθούσε να ισχύει.
✏️ Μια απόδειξη χωρίς να χρειάζεται ο ίδιος ο αριθμός
Ένας δημοσιογράφος των New York Times βρήκε γρήγορα τον τρόπο να αποδείξει ότι ο Krieger έκανε λάθος — χωρίς καν να γνωρίζει ποιο ήταν το \(n\) που ισχυριζόταν. Το κλειδί: αφού \(1324<1961 p="">
είναι γνησίως φθίνουσα ως προς \(n\) — κάθε όρος μικραίνει καθώς αυξάνεται ο εκθέτης.
Επαληθεύσαμε: για \(n=2\), ήδη \(1324^2+731^2=2.287.337\), ενώ \(1961^2=3.845.521\) — δηλαδή (f(2) <1 f="" n="" strong="">κάθε \(n\geq2\), πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση \(1324^n+731^n=1961^n\) δεν μπορεί ποτέ να ισχύει για κανέναν ακέραιο \(n\geq2\) — ανεξάρτητα από το ποιο συγκεκριμένο \(n\) είχε στο μυαλό του ο Krieger.
Μια κομψή απόδειξη, χωρίς να χρειάζεται καν το πλήρες Τελευταίο Θεώρημα του Fermat (που άλλωστε δεν θα αποδεικνυόταν παρά μόνο το 1994) — αρκούσε ένας απλός, στοιχειώδης έλεγχος μονοτονίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου