🧱 Η ακολουθία LEGO: ένας γρίφος που χτίζεται όροφο-όροφο

Ποιος κανόνας παράγει την ακόλουθη ακολουθία;

1, 3, 7, 19, 53, 149, 419, …

Αν αναζητήσουμε μόνο αριθμητικές πράξεις ανάμεσα στους διαδοχικούς όρους, είναι εύκολο να επινοήσουμε πολλούς τεχνητούς κανόνες. Η πραγματική απάντηση, όμως, δεν βρίσκεται μέσα στους αριθμούς. Βρίσκεται σε ένα πρόβλημα κατασκευής και απαρίθμησης.

💡 Εμφάνιση της λύσης

Κάθε όρος μετρά πόσοι σταθεροί πύργοι μπορούν να δημιουργηθούν με τετράγωνα τουβλάκια (2\times2), όταν τα τουβλάκια τοποθετούνται διαδοχικά πάνω σε ένα σταθερό βασικό τουβλάκι και κάθε νέο επίπεδο μπορεί να μετατοπιστεί αριστερά, στο κέντρο ή δεξιά.

a(n)=1,3,7,19,53,149,419,\ldots

Πώς εμφανίζονται οι πρώτοι όροι;

Χωρίς πρόσθετο τουβλάκι
Υπάρχει μόνο η σταθερή βάση: (a(0)=1).

Ένα πρόσθετο τουβλάκι
Μπορεί να τοποθετηθεί αριστερά, στο κέντρο ή δεξιά: (a(1)=3).

Δύο πρόσθετα τουβλάκια
Από τις (3^2=9) τοποθετήσεις, οι δύο ακραίες δεν είναι σταθερές: (a(2)=7).

Καθώς προσθέτουμε επίπεδα, οι δυνατές τοποθετήσεις πολλαπλασιάζονται. Δεν επιβιώνουν όμως όλες: ένας πύργος απορρίπτεται όταν η προβολή του κέντρου μάζας των επάνω τμημάτων βρεθεί έξω από την περιοχή στήριξης.

⚖️ Το κέντρο μάζας αποφασίζει

Ένας πύργος μπορεί να μοιάζει παράξενα ασύμμετρος και παρ’ όλα αυτά να είναι σταθερός. Το κρίσιμο δεν είναι η εμφάνιση, αλλά αν σε κάθε επίπεδο το συνολικό βάρος των ανώτερων τούβλων στηρίζεται πάνω στην επιφάνεια επαφής.

Ο ακριβής μαθηματικός κανόνας

Αν (c_{n,j}) είναι ο συντελεστής του (x^j) στο πολυώνυμο

\prod_{k=1}^{n}\left(1+x^k+x^{2k}\right),

τότε ο αριθμός των σταθερών πύργων δίνεται από το άθροισμα των συντελεστών γύρω από τον κεντρικό εκθέτη:

a(n)=\sum_{j=\frac{n(n+1)}2-n}^{\frac{n(n+1)}2+n}c_{n,j}.

Οι τρεις επιλογές (1,x^k,x^{2k}) κωδικοποιούν τις τρεις σχετικές θέσεις κάθε νέου επιπέδου. Οι εκθέτες καταγράφουν τη συνολική μετατόπιση, ενώ το επιτρεπτό κεντρικό εύρος αντιστοιχεί στις κατασκευές που παραμένουν σε ισορροπία.

(n)	Πρόσθετα τουβλάκια	Σταθεροί πύργοι (a(n))
0	0	1
1	1	3
2	2	7
3	3	19
4	4	53
5	5	149
6	6	419

🎯 Τι κάνει την ακολουθία ενδιαφέρουσα;

Μετατρέπει ένα απλό παιχνίδι σε πρόβλημα Συνδυαστικής, Γεννητριών Συναρτήσεων και Στατικής. Η ακολουθία δεν περιγράφει πώς αλλάζει ένας αριθμός, αλλά πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να κατασκευάσουμε κάτι που δεν θα πέσει.

Πηγές: P. J. S. Watson, «On LEGO Towers», Journal of Recreational Mathematics 12 (1979–1980), 24–27 · OEIS A007575 · Clifford A. Pickover, A Passion for Mathematics, Wiley, 2005.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →