Οι κύκλοι του Malfatti είναι τρεις κύκλοι στο εσωτερικό ενός τριγώνου, έτσι ώστε καθένας να εφάπτεται στους άλλους δύο και σε δύο πλευρές του τριγώνου.
Η ιστορία τους ξεκινά το 1803, όταν ο Ιταλός μαθηματικός Gian Francesco Malfatti μελέτησε ένα πρόβλημα με έντονα πρακτική διατύπωση: πώς μπορούν να κοπούν τρεις κυλινδρικές κολόνες από ένα τριγωνικό πρίσμα μαρμάρου ώστε να αξιοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο υλικό;
Στη διατομή, το ερώτημα μετατρέπεται σε ένα καθαρό γεωμετρικό πρόβλημα: πώς τοποθετούμε τρεις μη επικαλυπτόμενους κύκλους μέσα σε ένα τρίγωνο ώστε το άθροισμα των εμβαδών τους να είναι μέγιστο;
Ο Malfatti θεώρησε ότι η καλύτερη διάταξη ήταν η πιο φυσική και συμμετρική: οι τρεις κύκλοι να εφάπτονται ανά δύο μεταξύ τους και ο καθένας σε δύο πλευρές του τριγώνου. Οι κύκλοι αυτοί πήραν τελικά το όνομά του.
Το 1930 οι Lob και Richmond έδειξαν ότι σε ορισμένα τρίγωνα μπορούμε να πετύχουμε μεγαλύτερο συνολικό εμβαδόν ξεκινώντας από τον μεγαλύτερο δυνατό κύκλο και τοποθετώντας στη συνέχεια τους επόμενους μεγαλύτερους κύκλους στους χώρους που απομένουν.
Ακόμη και στο ισόπλευρο τρίγωνο, όπου η συμμετρία κάνει τους τρεις κύκλους του Malfatti να φαίνονται σχεδόν αναπόφευκτα «τέλειοι», υπάρχει διαφορετική διάταξη με λίγο μεγαλύτερο συνολικό εμβαδόν. Αργότερα αποδείχθηκε ότι αυτό δεν είναι εξαίρεση αλλά γενικός κανόνας.
Έτσι, το πρόβλημα του Malfatti αποτελεί ένα όμορφο παράδειγμα του πόσο παραπλανητική μπορεί να γίνει η γεωμετρική διαίσθηση: η πιο συμμετρική και αισθητικά πειστική λύση δεν είναι αναγκαστικά και η βέλτιστη.
Πηγές: Wolfram MathWorld – Malfatti's Problem · Computational Geometry – A Generalized Malfatti Problem
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου