📐 Το θεώρημα
Σχεδιάστε τρεις κύκλους διαφορετικού μεγέθους, χωρίς να τέμνονται μεταξύ τους. Για κάθε ζεύγος κύκλων, σχεδιάστε τις δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες ευθείες τους — αυτές τέμνονται πάντα σε ένα σημείο.
Κάνοντας το ίδιο και για τα τρία ζεύγη, προκύπτουν τρία σημεία τομής. Το θεώρημα του Gaspard Monge λέει ότι αυτά τα τρία σημεία βρίσκονται πάντα πάνω στην ίδια ευθεία γραμμή — ανεξάρτητα από το πόσο διαφορετικοί είναι οι τρεις κύκλοι.
Όταν του παρουσίασαν αυτό το θεώρημα, ο John Edson Sweet, καθηγητής μηχανολογίας στο Cornell, το κοίταξε για λίγο και είπε απλά: «Ναι, αυτό είναι απολύτως αυταπόδεικτο» — μια αντίδραση που ο μαθηματικός David Wells κατέγραψε ως αξιοσημείωτη, ακριβώς επειδή το θεώρημα δεν φαίνεται καθόλου προφανές στους περισσότερους ανθρώπους.
🎈 Η διαισθητική απόδειξη ενός μηχανικού
Το πιθανότερο είναι πως ο Sweet, σκεπτόμενος με όρους τρισδιάστατης μηχανικής —όχι επίπεδης γεωμετρίας— «έβλεπε» αμέσως μια εναλλακτική, στερεομετρική απόδειξη: φανταστείτε τους τρεις κύκλους ως τρεις σφαίρες διαφορετικού μεγέθους, ακουμπισμένες πάνω σε ένα τραπέζι.
Υπάρχει πάντα ένα δεύτερο, κεκλιμένο επίπεδο, σαν «σκέπασμα» ή τέντα, που εφάπτεται και στις τρεις σφαίρες από πάνω.
Δύο επίπεδα στον χώρο —το τραπέζι και η «τέντα»— τέμνονται πάντα σε μία ευθεία γραμμή. Αυτό είναι στοιχειώδης, αυτονόητη στερεομετρία. Τώρα, για κάθε ζεύγος σφαιρών, μπορούμε να φανταστούμε έναν κώνο που τις αγκαλιάζει και τις δύο εξωτερικά, σαν χωνί παγωτού ανάμεσά τους.
Οποιοδήποτε επίπεδο εφάπτεται και στις δύο σφαίρες ενός ζεύγους, εφάπτεται αναγκαστικά και στον κώνο που τις συνδέει — και ένα επίπεδο εφαπτόμενο σε κώνο περνάει πάντα από την κορυφή του.
Αφού τόσο το τραπέζι όσο και η «τέντα» εφάπτονται σε κάθε τέτοιο κώνο, η κορυφή του κώνου βρίσκεται αναγκαστικά πάνω και στα δύο επίπεδα — δηλαδή, πάνω στην ίδια εκείνη ευθεία τομής τους.
Αφού υπάρχουν τρία ζεύγη σφαιρών, άρα τρεις κώνοι, οι τρεις κορυφές τους βρίσκονται όλες πάνω στην ίδια ευθεία — σχεδόν αυτονόητα, μόλις το δει κανείς έτσι.
Και όταν «κατεβάσουμε» αυτή την εικόνα πίσω στο επίπεδο, οι κορυφές των κώνων αντιστοιχούν ακριβώς στα σημεία τομής των εφαπτομένων ευθειών των αρχικών κύκλων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου