⭐ Πόσα Κανονικά Αστρικά Πολύγωνα Υπάρχουν; Από το Πεντάγραμμο έως το N=20

⭐ Πόσα Κανονικά Αστρικά Πολύγωνα Υπάρχουν;

Τα κανονικά πολύγωνα που συναντάμε συνήθως στο σχολείο είναι κυρτά. Υπάρχει όμως και μια εντυπωσιακή οικογένεια μη κυρτών σχημάτων: τα κανονικά αστρικά πολύγωνα.

Το απλούστερο είναι το γνωστό πεντάγραμμο, το πεντάκτινο αστέρι.

Υπάρχει όμως μια ενδιαφέρουσα λεπτομέρεια. Το γνωστό εξάκτινο αστέρι —το Αστέρι του Δαβίδ— δεν είναι κανονικό αστρικό εξάγωνο με την έννοια που χρησιμοποιούμε εδώ. Αποτελείται από δύο επικαλυπτόμενα ισόπλευρα τρίγωνα.

Αντίθετα, για \(N=7\) υπάρχουν δύο διαφορετικά κανονικά αστρικά πολύγωνα, ενώ για άλλες τιμές του \(N\) μπορεί να υπάρχουν ακόμη περισσότερα.

🔍 Η πρόκληση

Επαληθεύστε ότι τα παραπάνω είναι όλα τα κανονικά αστρικά πολύγωνα για \(N<11\) και συνεχίστε τον πίνακα μέχρι το \(N=20\). Δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε όλα τα αστέρια. Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό τους χρησιμοποιώντας μόνο αριθμητική και λίγη λογική.

🔍 Δείτε τη λύση

Πώς κατασκευάζεται ένα κανονικό αστρικό πολύγωνο;

Τοποθετούμε \(N\) σημεία σε ίσες αποστάσεις πάνω σε έναν κύκλο. Αντί να ενώνουμε κάθε κορυφή με την αμέσως επόμενη, όπως σε ένα συνηθισμένο κανονικό πολύγωνο, «πηδάμε» σταθερά \(k\) κορυφές.

Το πολύγωνο που προκύπτει συμβολίζεται με

\[ \boxed{\{N/k\}}. \]

Για παράδειγμα, το πεντάγραμμο είναι

\[ \{5/2\}. \]

Στις επτά κορυφές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε βήμα \(2\) ή βήμα \(3\), οπότε παίρνουμε δύο διαφορετικά επτάγραμμα:

\[ \boxed{\{7/2\},\qquad\{7/3\}}. \]

Το κρίσιμο σημείο: ο ΜΚΔ

Για να περάσουμε από όλες τις \(N\) κορυφές πριν επιστρέψουμε στην αρχική, πρέπει το \(N\) και το βήμα \(k\) να είναι πρώτοι μεταξύ τους:

\[ \boxed{\gcd(N,k)=1}. \]

Αν αυτό δεν συμβαίνει, η κατασκευή διασπάται σε δύο ή περισσότερα ανεξάρτητα πολύγωνα.

Αυτό εξηγεί αμέσως γιατί δεν υπάρχει κανονικό αστρικό εξάγωνο αυτού του τύπου. Η μοναδική υποψήφια επιλογή είναι \(k=2\), αλλά

\[ \gcd(6,2)=2. \]

Έτσι προκύπτουν δύο τρίγωνα και όχι ένα ενιαίο αστρικό εξάγωνο.

Πόσες επιλογές υπάρχουν;

Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε τα \(k\) και \(N-k\) χωριστά, επειδή παράγουν το ίδιο αστρικό πολύγωνο με αντίθετη φορά.

Επομένως αρκεί να εξετάζουμε

\[ 2\leq k<\frac{N}{2} \]

και να κρατάμε μόνο εκείνα τα \(k\) για τα οποία

\[ \gcd(N,k)=1. \]

Η συνάρτηση του Euler \(\varphi(N)\) μετρά πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από το \(N\) είναι πρώτοι προς το \(N\). Οι αριθμοί αυτοί σχηματίζουν ζεύγη

\[ k\longleftrightarrow N-k. \]

Άρα έχουμε \(\varphi(N)/2\) διαφορετικές επιλογές φοράς. Μία από αυτές είναι το \(k=1\), που δίνει το συνηθισμένο κυρτό κανονικό \(N\)-γωνο και όχι αστρικό πολύγωνο.

Επομένως:

\[ \boxed{ S(N)=\frac{\varphi(N)}{2}-1 } \]

για \(N\geq5\), όπου \(S(N)\) είναι ο αριθμός των διαφορετικών κανονικών αστρικών πολυγώνων με \(N\) κορυφές.

Ο πίνακας μέχρι το \(N=20\)

\(N\)	Επιτρεπτά \(k\)	Πλήθος
5	2	1
6	—	0
7	2, 3	2
8	3	1
9	2, 4	2
10	3	1
11	2, 3, 4, 5	4
12	5	1
13	2, 3, 4, 5, 6	5
14	3, 5	2
15	2, 4, 7	3
16	3, 5, 7	3
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	7
18	5, 7	2
19	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	8
20	3, 7, 9	3

Παρατηρούμε κάτι ιδιαίτερα όμορφο: όταν το \(N\) είναι πρώτος αριθμός, κάθε

\[ k=2,3,\ldots,\frac{N-1}{2} \]

είναι επιτρεπτό. Επομένως, για πρώτο \(N\),

\[ \boxed{ S(N)=\frac{N-3}{2} }. \]

Γι' αυτό το \(17\) δίνει \(7\) διαφορετικά αστέρια, ενώ το \(19\) δίνει ήδη \(8\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →