🪜 Στρογγυλοποιώντας προς τα πάνω… φτάνουμε στο \(\pi\)

Ξεκινάμε από έναν θετικό ακέραιο \(n\). Τον ανεβάζουμε στο μικρότερο πολλαπλάσιο του \(n-1\) που δεν είναι μικρότερο από αυτόν. Έπειτα επαναλαμβάνουμε με το \(n-2\), το \(n-3\), μέχρι να φτάσουμε στο \(1\).

Αν \(f(n)\) είναι το τελικό αποτέλεσμα, τότε συμβαίνει το εντυπωσιακό:

\[\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{f(n)}=\pi}.\]

Ο ακριβής κανόνας

Θέτουμε αρχικά \(r_n=n\). Για \(k=n-1,n-2,\ldots,1\), ορίζουμε

\[r_k=k\left\lceil\frac{r_{k+1}}{k}\right\rceil.\]

Το σύμβολο \(\lceil x\rceil\) σημαίνει τον μικρότερο ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του \(x\). Τελικά θέτουμε \(f(n)=r_1\).

Παράδειγμα για \(n=10\)

Η διαδικασία δίνει διαδοχικά:

\[10\to18\to24\to28\to30\to30\to32\to33\to34\to34.\]

Για παράδειγμα, το \(10\) ανεβαίνει στο \(18\), επειδή το \(18\) είναι το μικρότερο πολλαπλάσιο του \(9\) που δεν είναι μικρότερο από το \(10\). Στη συνέχεια, το \(18\) ανεβαίνει στο \(24\), το επόμενο πολλαπλάσιο του \(8\), και ούτω καθεξής. Άρα

\[f(10)=34.\]

Μια παλιά γνωστή προσέγγιση

Για \(n=22\), ο αλγόριθμος δίνει \(f(22)=154\). Επομένως,

\[\frac{22^2}{f(22)}=\frac{484}{154}=\frac{22}{7}\approx3.142857.\]

Έτσι η γνωστή προσέγγιση \(22/7\) εμφανίζεται φυσικά μέσα από αυτή την εντελώς διαφορετική διαδικασία.

🔍 Πόσο καλά προσεγγίζει το \(\pi\);

Για \(n=5076\), έχουμε

\[f(5076)=8\,201\,502\]

και

\[\frac{5076^2}{f(5076)}\approx3.1415923571.\]

Η τιμή αυτή συμφωνεί με το \(\pi\) στα πρώτα έξι ψηφία μετά την υποδιαστολή, αν διαβάσουμε τα ψηφία χωρίς στρογγυλοποίηση.

Ωστόσο, δεν είναι η καλύτερη προσέγγιση για \(n<10000\), όπως αναφέρεται σε ορισμένες πηγές. Ο υπολογιστικός έλεγχος δίνει καλύτερη τιμή για \(n=3849\):

\[f(3849)=4\,715\,698,\qquad\frac{3849^2}{f(3849)}\approx3.1415924005.\]

Το σφάλμα εδώ είναι περίπου \(2.53\times10^{-7}\), μικρότερο από το αντίστοιχο σφάλμα περίπου \(2.96\times10^{-7}\) για \(n=5076\).

Γιατί εμφανίζεται το \(\pi\);

Σε κάθε βήμα προσθέτουμε όσο ακριβώς χρειάζεται για να φτάσουμε στο επόμενο πολλαπλάσιο. Το πρόσθετο ποσό εξαρτάται από το υπόλοιπο της προηγούμενης τιμής και δεν συμπεριφέρεται σαν μια σειρά ανεξάρτητων τυχαίων στρογγυλοποιήσεων. Οι αλληλεξαρτήσεις των υπολοίπων δημιουργούν, σε μεγάλη κλίμακα, τη σταθερά \(1/\pi\) στον λόγο \(f(n)/n^2\).

Το αξιοθαύμαστο σημείο

Ο αριθμός \(\pi\) εμφανίζεται συνήθως μέσα από κύκλους, ολοκληρώματα, σειρές ή άπειρα γινόμενα. Εδώ προκύπτει από μια καθαρά αριθμητική διαδικασία: επαναλαμβανόμενες στρογγυλοποιήσεις προς τα πάνω σε διαδοχικά πολλαπλάσια.

Σημείωση: Η απόδειξη του ορίου είναι ουσιαστικά δυσκολότερη από τον ορισμό του αλγορίθμου. Η παραπάνω εξήγηση περιγράφει τον μηχανισμό και τα επαληθευμένα αριθμητικά παραδείγματα, όχι πλήρη ασυμπτωτική απόδειξη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →