EisatoponAI: 🔵 Τέσσερις Εφαπτόμενες και ένας Κύκλος — Μπορείτε να βρείτε την ακτίνα r;

$Τετράπλευρο $ABCD$ περιγεγραμμένο γύρω από κίτρινο κύκλο ακτίνας $r$, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία $P,Q,R,S$. Στο σχήμα σημειώνονται τα μήκη $AP=2$, $BQ=3$, $CR=6$ και $SD=7$.$

Στο σχήμα, ο κύκλος εφάπτεται στις τέσσερις πλευρές του τετραπλεύρου $ABCD$ στα σημεία $P,Q,R,S$.

Δίνονται τα μήκη:

\[ AP=2,\qquad BQ=3,\qquad CR=6,\qquad DS=7. \]

Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό του τετραπλεύρου και η ακτίνα του είναι $r$.

❓ Μπορείτε να υπολογίσετε την ακτίνα $r$;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Θυμηθείτε πρώτα μια βασική ιδιότητα: τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το ίδιο εξωτερικό σημείο προς έναν κύκλο είναι ίσα.

Επομένως:

\[ AP=AS,\qquad BP=BQ,\qquad CQ=CR,\qquad DR=DS. \]

Άρα γνωρίζουμε ουσιαστικά τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων που ξεκινούν και από τις τέσσερις κορυφές.

Τώρα ενώστε το κέντρο $O$ του κύκλου με τις κορυφές $A,B,C,D$.

Η ακτίνα προς κάθε σημείο επαφής είναι κάθετη στην αντίστοιχη πλευρά. Έτσι σχηματίζονται ορθογώνια τρίγωνα.

Αν $\theta_A=\frac{A}{2}$, τότε από το τρίγωνο στο $A$:

\[ \tan\theta_A=\frac{r}{2}. \]

Αντίστοιχα:

\[ \tan\frac{A}{2}=\frac r2,\qquad \tan\frac{B}{2}=\frac r3, \] \[ \tan\frac{C}{2}=\frac r6,\qquad \tan\frac{D}{2}=\frac r7. \]

Και επειδή το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι $360^\circ$:

\[ \frac A2+\frac B2+\frac C2+\frac D2=180^\circ. \]

Από εδώ και πέρα, η γεωμετρία μετατρέπεται σε μια πολύ όμορφη τριγωνομετρική εξίσωση. Μπορείτε να βρείτε το $r$;

🧠 Μικρή πρόκληση

Η τελική τιμή της ακτίνας είναι πολύ πιο απλή απ’ όσο ίσως περιμένετε.