🥚 Η Περίμετρος της Έλλειψης και οι Εκπληκτικοί Τύποι του Ramanujan

Για έναν κύκλο ακτίνας \(r\), η περίμετρος δίνεται από έναν από τους γνωστότερους τύπους των Μαθηματικών:

\[ C=2\pi r. \]

Τι συμβαίνει όμως αν «τεντώσουμε» τον κύκλο και τον μετατρέψουμε σε έλλειψη;

Θα περίμενε κανείς έναν παρόμοιο απλό τύπο. Όμως η κατάσταση αλλάζει δραματικά.

📐 Γιατί η έλλειψη είναι δυσκολότερη;

Έστω \(a\) ο μεγάλος ημιάξονας και \(b\) ο μικρός ημιάξονας της έλλειψης, με

\[ a\geq b>0. \]

Η εκκεντρότητά της είναι

\[ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}. \]

Η ακριβής περίμετρος \(P\) μπορεί να γραφτεί ως

\[ P=4a\,E(e), \]

όπου \(E(e)\) είναι το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα δεύτερου είδους:

\[ E(e)= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2\sin^2\theta}\,d\theta. \]

Με άλλα λόγια, σε αντίθεση με τον κύκλο, η περίμετρος μιας γενικής έλλειψης δεν εκφράζεται με έναν απλό στοιχειώδη τύπο.

🧠 Και τότε εμφανίζεται ο Ramanujan

Ο Srinivasa Ramanujan βρήκε εξαιρετικά κομψές προσεγγίσεις που δίνουν την περίμετρο χρησιμοποιώντας μόνο τους ημιάξονες \(a\) και \(b\).

Μία από τις γνωστές προσεγγίσεις του είναι:

\[ \boxed{ P\approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] } \]

Ακόμη πιο εντυπωσιακή είναι η περίφημη δεύτερη προσέγγισή του. Θέτουμε

\[ h=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2. \]

Τότε:

\[ \boxed{ P\approx \pi(a+b) \left( 1+ \frac{3h} {10+\sqrt{4-3h}} \right) } \]

✨ Γιατί είναι τόσο εντυπωσιακό;

Η ακριβής απάντηση απαιτεί μια ειδική συνάρτηση και ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα.

Κι όμως, ο Ramanujan κατάφερε να συμπυκνώσει αυτή την πολυπλοκότητα σε έναν μικρό αλγεβρικό τύπο που είναι εξαιρετικά ακριβής για ένα τεράστιο εύρος ελλείψεων.

🔵 Ένας όμορφος έλεγχος

Αν η έλλειψη γίνει κύκλος, τότε \(a=b=r\).

Στην περίπτωση αυτή:

\[ h=0. \]

και ο τύπος του Ramanujan δίνει:

\[ P\approx\pi(2r)=2\pi r. \]

Δηλαδή επιστρέφουμε ακριβώς στον γνωστό τύπο της περιφέρειας του κύκλου.

Από το απλό \(2\pi r\) σε ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα...

και από εκεί σε έναν από τους κομψότερους προσεγγιστικούς τύπους του Ramanujan.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →