🔵 Από τον κύκλο στην έλλειψη — Ένα αναλλοίωτο εμβαδόν ανάμεσα στις υπερβολές xy = ±1

🔵 Από τον κύκλο στην έλλειψη — Ένα εμβαδόν που δεν αλλάζει

Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις δύο ισόπλευρες υπερβολές

\[ xy=1 \qquad\text{και}\qquad xy=-1. \]

Ανάμεσα στους τέσσερις κλάδους τους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν κύκλο που εφάπτεται και στους τέσσερις.

Το ενδιαφέρον όμως αρχίζει όταν «τεντώσουμε» τον κύκλο οριζόντια και ταυτόχρονα τον «συμπιέσουμε» κατακόρυφα. Παίρνουμε μια έλλειψη που εξακολουθεί να εφάπτεται στους ίδιους τέσσερις κλάδους.

🤔 Και τότε προκύπτει μια όμορφη ερώτηση:

Μήπως όλες αυτές οι ελλείψεις έχουν το ίδιο εμβαδόν;

🔹 Ξεκινώντας από τον κύκλο

Λόγω συμμετρίας, ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Στο πρώτο τεταρτημόριο το σημείο επαφής με την υπερβολή \(xy=1\) είναι το

\[ (1,1). \]

Επομένως η ακτίνα του είναι

\[ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \]

και το εμβαδόν του

\[ E=\pi r^2=2\pi. \]

🔹 Τεντώνουμε τον κύκλο

Ας εφαρμόσουμε τώρα τον μετασχηματισμό

\[ (x,y)\longmapsto \left(\lambda x,\frac{y}{\lambda}\right), \qquad \lambda>0. \]

Το γινόμενο των νέων συντεταγμένων παραμένει αμετάβλητο:

\[ (\lambda x)\left(\frac{y}{\lambda}\right)=xy. \]

Άρα οι καμπύλες

\[ xy=\pm1 \]

παραμένουν οι ίδιες.

Ο κύκλος όμως μετατρέπεται σε έλλειψη με ημιάξονες

\[ a=\sqrt2\,\lambda, \qquad b=\frac{\sqrt2}{\lambda}. \]

Το γινόμενό τους είναι

\[ ab= (\sqrt2\,\lambda) \left(\frac{\sqrt2}{\lambda}\right) =2. \]

Επομένως το εμβαδόν κάθε τέτοιας έλλειψης είναι

\[ \boxed{E=\pi ab=2\pi} \]

✨ Η μαθηματική έκπληξη

Μπορούμε λοιπόν να κάνουμε την έλλειψη όλο και πιο μακρόστενη ή όλο και πιο στενή. Οι ημιάξονές της αλλάζουν συνεχώς, αλλά ο ένας μεγαλώνει ακριβώς όσο χρειάζεται ώστε να αντισταθμίζει τη μείωση του άλλου:

\[ ab=2. \]

Έτσι προκύπτει μια ολόκληρη οικογένεια διαφορετικών ελλείψεων, όλες εφαπτόμενες στους τέσσερις κλάδους των \(xy=\pm1\), με ένα κοινό χαρακτηριστικό:

Το σχήμα αλλάζει.
Οι άξονες αλλάζουν.
Το εμβαδόν όμως παραμένει πάντα \[ \boxed{2\pi}. \]

Ο λόγος κρύβεται στον ίδιο τον μετασχηματισμό: πολλαπλασιάζει τη μία διάσταση με \(\lambda\) και την άλλη με \(1/\lambda\). Ο συνολικός συντελεστής μεταβολής του εμβαδού είναι επομένως

\[ \lambda\cdot\frac1\lambda=1. \]

Μια όμορφη περίπτωση όπου η γεωμετρική μορφή μεταβάλλεται, αλλά το εμβαδόν μένει αναλλοίωτο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →