🔢 Το πρόβλημα 1597: Μπορεί το √(1597x²+1) να είναι ακέραιος;

Να εξεταστεί αν η ποσότητα

\[ y=\sqrt{1597x^2+1} \]

μπορεί να είναι ακέραιος αριθμός για κάποιο θετικό ακέραιο \(x\).

🎯 Υπάρχει θετικός ακέραιος \(x\) ώστε \[ \sqrt{1597x^2+1} \] να είναι ακέραιος;

Αν θέσουμε

\[ y^2=1597x^2+1, \]

τότε το πρόβλημα γίνεται

\[ \boxed{y^2-1597x^2=1}. \]

Πρόκειται για μια κλασική εξίσωση Pell.

💡 Υπόδειξη:

Η απάντηση είναι «ναι», αλλά η μικρότερη θετική λύση δεν είναι καθόλου μικρή. Η συνεχής κλασματική ανάπτυξη του \(\sqrt{1597}\) είναι ο φυσικός δρόμος για να τη βρείτε.

Ένα πολύ απλό ερώτημα μπορεί να κρύβει μια τεράστια ελάχιστη λύση.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →