📐 Ένα τετράγωνο, ένας κύκλος και η Χρυσή Τομή — Αποδείξτε ότι a/b = φ

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο και έναν κύκλο, με τη γεωμετρική κατασκευή που φαίνεται στην εικόνα.

Τα δύο σημειωμένα μήκη είναι \(a\) και \(b\).

Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{\frac{a}{b}=\varphi} \]

όπου

\[ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2} \]

είναι η Χρυσή Τομή.

Το αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα όμορφο, επειδή η Χρυσή Τομή δεν δίνεται εξαρχής στην κατασκευή. Αναδύεται αποκλειστικά από τις γεωμετρικές σχέσεις του τετραγώνου, του κύκλου και των εγγεγραμμένων τριγώνων.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Παρατηρήστε πρώτα ότι το οριζόντιο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία του κύκλου περνά από το κέντρο του, άρα είναι διάμετρος.

Επομένως, κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτή τη διάμετρο είναι ορθή.

Στη συνέχεια αξιοποιήστε το γεγονός ότι οι πλευρές του τετραγώνου είναι ίσες και εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στα κατάλληλα ορθογώνια τρίγωνα. Θα εμφανιστεί φυσικά η ποσότητα

\[ \frac{1+\sqrt5}{2}. \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →