🔢 Μια απλή ταυτότητα που ξεκλειδώνει ανισότητες — Το γινόμενο (a+b)(b+c)(c+a)

Στις ανισότητες, μια κατάλληλη αλγεβρική ταυτότητα μπορεί μερικές φορές να μετατρέψει ένα δύσχρηστο γινόμενο σε μια μορφή πολύ πιο εύκολη στη μελέτη.

Ένα όμορφο παράδειγμα είναι η ακόλουθη ταυτότητα, που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(a,b,c\):

\[ \boxed{ (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc } \]

Η απόδειξή της είναι άμεση, με ανάπτυξη των δύο μελών. Η πραγματική της αξία όμως φαίνεται στις εφαρμογές.

📌 Μια πρώτη συνέπεια

Αν

\[ abc=1, \]

τότε η ταυτότητα γίνεται

\[ \boxed{ (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-1 }. \]

Αν πάλι

\[ ab+bc+ca=1, \]

τότε παίρνουμε

\[ \boxed{ (a+b)(b+c)(c+a) = a+b+c-abc }. \]

⚖️ Μια όμορφη εφαρμογή

Έστω τώρα \(a,b,c\ge0\). Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{ (a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac89(a+b+c)(ab+bc+ca) }. \]

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Χρησιμοποίησε πρώτα την ταυτότητα

\[ (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc. \]

Αρκεί λοιπόν να συγκρίνεις το \(abc\) με το γινόμενο

\[ (a+b+c)(ab+bc+ca). \]

Εφάρμοσε δύο φορές την AM-GM: \[ a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc} \] και \[ ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}. \]

🔍 Η βασική ιδέα

Η ταυτότητα απομονώνει τον όρο \(abc\). Έτσι μια ανισότητα για το φαινομενικά περίπλοκο γινόμενο \((a+b)(b+c)(c+a)\) μπορεί να μετατραπεί σε μια πολύ φυσικότερη εφαρμογή της AM-GM.

Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μιας χρήσιμης στρατηγικής στις ολυμπιακές ανισότητες: πριν επιχειρήσουμε να εκτιμήσουμε μια παράσταση, αναζητούμε πρώτα μια καλύτερη μορφή της.

Μερικές φορές η δύσκολη ανισότητα κρύβει πίσω της μια πολύ απλή ταυτότητα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →