🟡 Η Μεγαλύτερη Έλλειψη που Χωρά σε ένα Ημικύκλιο — Ποια Είναι η Εκκεντρότητά της;

Σε ένα ημικύκλιο εγγράφουμε μια έλλειψη, έτσι ώστε ο μεγάλος άξονάς της να είναι παράλληλος προς τη διάμετρο του ημικυκλίου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Από όλες τις ελλείψεις που μπορούν να τοποθετηθούν με αυτόν τον τρόπο, επιλέγουμε εκείνη που έχει το μέγιστο δυνατό εμβαδόν.

🎯 Πρόβλημα

Ποια είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης μέγιστου εμβαδού;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Έστω \(R\) η ακτίνα του ημικυκλίου και \(a,b\) οι ημιάξονες της έλλειψης.

Λόγω συμμετρίας, μπορείτε να τοποθετήσετε τα δύο σχήματα σε σύστημα συντεταγμένων και να γράψετε

\[ x^2+y^2=R^2 \] και \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1. \]

Η έλλειψη μέγιστου εμβαδού πρέπει να εφάπτεται στο τόξο του ημικυκλίου. Χρησιμοποιήστε αυτή τη συνθήκη για να συνδέσετε τα \(a,b,R\) και στη συνέχεια μεγιστοποιήστε

\[ E=\pi ab. \]

Τέλος, η ζητούμενη εκκεντρότητα είναι \[ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}. \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →