🟣 Έλλειψη και Υπερβολή με Κοινές Εστίες — Πού Τέμνονται;

Μια έλλειψη και μια υπερβολή έχουν τις ίδιες εστίες

\[ F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0). \]

Οι εκκεντρότητές τους είναι αντίστροφες: αν η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι \(\varepsilon>1\), τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι

\[ \frac{1}{\varepsilon}. \]

Οι δύο κωνικές έχουν τέσσερα κοινά σημεία, συμμετρικά ως προς τους δύο άξονες.

🎯 Πρόβλημα

Να υπολογίσετε, ως προς \(c\) και \(\varepsilon\), τις συντεταγμένες των τεσσάρων σημείων τομής της έλλειψης και της υπερβολής.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Ξεκινήστε από τις σχέσεις μεταξύ της γραμμικής εκκεντρότητας \(c\), του μεγάλου ημιάξονα και της εκκεντρότητας για καθεμία από τις δύο κωνικές.

Γράψτε στη συνέχεια τις δύο εξισώσεις στην κανονική τους μορφή:

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad \frac{x^2}{A^2}-\frac{y^2}{B^2}=1. \]

Εκφράστε τα \(a,b,A,B\) μέσω των \(c,\varepsilon\) και λύστε το σύστημα. Η συμμετρία θα σας δώσει αμέσως και τα τέσσερα σημεία.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →