🟢 Δύο Όμοιες Ελλείψεις — Εκκεντρότητα, Ρόμβος Εστιών και μια Έκπληξη με τις Χορδές

Δίνονται δύο όμοιες και ομόκεντρες ελλείψεις, με τους κύριους άξονές τους κάθετους μεταξύ τους. Ο κύριος άξονας της μικρότερης έλλειψης είναι ίσος με τον δευτερεύοντα άξονα της μεγαλύτερης.

Οι τρεις περιοχές του πρώτου σχήματος —η κόκκινη, η κίτρινη και η πράσινη— έχουν ίσο εμβαδόν.

1️⃣ Εκκεντρότητα
Ποια είναι η εκκεντρότητα των δύο ελλείψεων;

2️⃣ Ο ρόμβος των εστιών
Οι τέσσερις εστίες αποτελούν τις κορυφές του ρόμβου που φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Ποιες είναι οι γωνίες του;

3️⃣ Η οριζόντια χορδή
Αποδείξτε ότι κάθε οριζόντια χορδή της μεγαλύτερης έλλειψης διαιρείται από τη μικρότερη έλλειψη σε τρία ίσα τμήματα, όπως υποδεικνύει το τρίτο σχήμα.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Θέστε \(a,b\) τους ημιάξονες της μεγαλύτερης έλλειψης. Η ομοιότητα των δύο ελλείψεων και η σχέση των αξόνων τους θα σας επιτρέψουν να συνδέσετε τους ημιάξονες της μικρότερης με τα \(a,b\).

Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την ισότητα των τριών εμβαδών και

\[ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}. \]

Για το τρίτο ερώτημα, τέμνετε και τις δύο ελλείψεις με την ίδια οριζόντια ευθεία \(y=k\) και συγκρίνετε τις τετμημένες των σημείων τομής.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →