🔢 Μια εκπληκτική ταυτότητα με τους διαιρέτες κάθε φυσικού αριθμού

Έστω ένας φυσικός αριθμός \(N\) με θετικούς διαιρέτες

\[ d_1,d_2,\ldots,d_n. \]

Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο των διαιρετών:

\[ A=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}, \]

και τον αρμονικό μέσο τους:

\[ H= \frac{n} {\displaystyle \frac1{d_1}+\frac1{d_2}+\cdots+\frac1{d_n}}. \]

❓ Τι παρατηρείτε αν υπολογίσετε το γινόμενο \(A\cdot H\);

Ισοδύναμα, μπορείτε να εξετάσετε το κλάσμα

\[ \frac{d_1+d_2+\cdots+d_n} {\displaystyle \frac1{d_1}+\frac1{d_2}+\cdots+\frac1{d_n}}. \]

Μήπως το αποτέλεσμα έχει μια εξαιρετικά απλή σχέση με τον ίδιο τον \(N\);

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Οι θετικοί διαιρέτες ενός αριθμού εμφανίζονται φυσικά σε ζεύγη:

\[ d\quad\longleftrightarrow\quad\frac{N}{d}. \]

Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη συμμετρία στο άθροισμα των αντιστρόφων των διαιρετών.

Ειδικότερα, σκεφτείτε πώς συνδέονται τα δύο αθροίσματα

\[ \sum_{d\mid N}d \qquad\text{και}\qquad \sum_{d\mid N}\frac1d. \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →