🧮 Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του μηδενικού πίνακα; Προσοχή στην παγίδα!

Με την πρώτη ματιά, το παρακάτω ερώτημα φαίνεται σχεδόν αυτονόητο:

\[ \sqrt{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}} =\;? \]

Στους πραγματικούς αριθμούς γνωρίζουμε ότι

\[ x^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=0. \]

Στους πίνακες, όμως, τα πράγματα είναι πιο ενδιαφέροντα.

❓ Πρόκληση

Βρείτε όλους τους πραγματικούς πίνακες \(2\times2\) \[ X= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \] για τους οποίους \[ \boxed{X^2= \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}}. \] Είναι άραγε ο μηδενικός πίνακας η μοναδική απάντηση;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Πριν ξεκινήσετε με τέσσερις αγνώστους, δοκιμάστε έναν πολύ απλό μη μηδενικό πίνακα:

\[ N= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}. \]

Υπολογίστε το \(N^2\).

Αν το αποτέλεσμα σας εκπλήξει, τότε έχετε ήδη ανακαλύψει γιατί η έννοια της «τετραγωνικής ρίζας ενός πίνακα» διαφέρει ουσιαστικά από την αντίστοιχη έννοια στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς.

🧠 Η μαθηματική ιδέα

Ένας μη μηδενικός πίνακας μπορεί να ικανοποιεί \[ X^2=0. \] Ένας τέτοιος πίνακας είναι ένα απλό παράδειγμα μηδενοδύναμου (nilpotent) πίνακα.

Άρα το σύμβολο \(\sqrt{A}\) για πίνακες χρειάζεται περισσότερη προσοχή απ' ό,τι στους πραγματικούς αριθμούς.

Μπορείτε να περιγράψετε όλες τις τετραγωνικές ρίζες του μηδενικού πίνακα \(2\times2\);

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →