🔺Ισόπλευρα Τρίγωνα Εγγεγραμμένα σε Παραβολή — Ποιος Είναι ο Τόπος των Κέντρων;

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο κινείται έτσι ώστε και οι τρεις κορυφές του να βρίσκονται συνεχώς πάνω σε μια δεδομένη παραβολή.

Καθώς το τρίγωνο αλλάζει θέση και μέγεθος, κινείται φυσικά και το κέντρο του. Το εντυπωσιακό είναι ότι η τροχιά αυτού του κέντρου δεν είναι μια τυχαία καμπύλη.

🎯 Πρόβλημα

Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων όλων των ισόπλευρων τριγώνων που είναι εγγεγραμμένα σε μια παραβολή είναι και αυτός παραβολή.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Επιλέξτε ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων και γράψτε την αρχική παραβολή στη μορφή

\[ y=ax^2. \]

Θεωρήστε τις τρεις κορυφές \[ A(x_1,ax_1^2),\qquad B(x_2,ax_2^2),\qquad C(x_3,ax_3^2) \] και εκφράστε αλγεβρικά τη συνθήκη ότι το τρίγωνο \(ABC\) είναι ισόπλευρο.

Το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του, άρα οι συντεταγμένες του είναι

\[ X=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \qquad Y=\frac{a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}{3}. \]

Ο στόχος είναι να εξαλειφθούν τα \(x_1,x_2,x_3\) χρησιμοποιώντας τη συνθήκη του ισόπλευρου τριγώνου. Αν προκύψει σχέση της μορφής \(Y=\lambda X^2+\mu\), ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος έχει αποκαλυφθεί.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →