🔢 Το μυστικό της πέμπτης δύναμης — Γιατί το τελευταίο ψηφίο επιστρέφει πάντα;

Πάρτε οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό, υψώστε τον στην πέμπτη δύναμη και κοιτάξτε μόνο το τελευταίο του ψηφίο.

Κάτι εντυπωσιακό συμβαίνει:

\[ 2^5=32,\qquad 7^5=16807,\qquad 9^5=59049. \]

Το τελευταίο ψηφίο της πέμπτης δύναμης είναι κάθε φορά ίδιο με το τελευταίο ψηφίο του αρχικού αριθμού.

Και αυτό δεν είναι σύμπτωση. Για κάθε ακέραιο \(n\) ισχύει

\[ \boxed{n^5\equiv n\pmod{10}}. \]

🔍 Γιατί συμβαίνει;

Η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με το ότι ο αριθμός

\[ n^5-n \]

διαιρείται πάντοτε με το \(10\).

Παραγοντοποιούμε:

\[ n^5-n =n(n^4-1) =n(n-1)(n+1)(n^2+1). \]

Από τους τρεις διαδοχικούς ακεραίους

\[ n-1,\quad n,\quad n+1 \]

τουλάχιστον ένας είναι άρτιος. Επομένως

\[ 2\mid(n^5-n). \]

Από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε επίσης

\[ n^5\equiv n\pmod5, \]

άρα

\[ 5\mid(n^5-n). \]

Εφόσον οι αριθμοί \(2\) και \(5\) είναι πρώτοι μεταξύ τους, συμπεραίνουμε ότι

\[ 10\mid(n^5-n). \]

Επομένως

\[ \boxed{n^5\equiv n\pmod{10}}. \]

✨ Με άλλα λόγια:
Όποιο κι αν είναι το τελευταίο ψηφίο ενός ακέραιου αριθμού, όταν τον υψώσουμε στην πέμπτη δύναμη, το τελευταίο ψηφίο παραμένει το ίδιο.

\[ 0^5\to0,\; 1^5\to1,\; 2^5\to2,\; 3^5\to3,\; \ldots,\; 9^5\to9. \]

Ένα μοτίβο που αρχικά μοιάζει με αριθμητικό παιχνίδι αποδεικνύεται ότι είναι αναπόφευκτη συνέπεια της αριθμητικής των υπολοίπων.

Έμπνευση / Πηγή: Thanushan Sivapatham, Why Fifth Powers Have a Secret Last-Digit Rule, Medium, 15 Σεπτεμβρίου 2026.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →