🟠 Τέσσερις εφαπτόμενοι κύκλοι και μια γεωμετρική πρόοδος — Ποια είναι η κοινή αναλογία;

Τέσσερις κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο, όπως στο σχήμα.

Οι ακτίνες τους, από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη, σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο.

\[ r,\quad rq,\quad rq^2,\quad rq^3, \qquad q>1. \]

❓ Ποια είναι η κοινή αναλογία \(q\);

Το εντυπωσιακό είναι ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε καμία από τις τέσσερις ακτίνες!

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα \(r_i\), όρισε την καμπυλότητά του ως

\[ k_i=\frac{1}{r_i}. \]

Για τέσσερις κύκλους που εφάπτονται ανά δύο, αναζήτησε το Θεώρημα του Descartes για τους εφαπτόμενους κύκλους.

Στη συνέχεια εκμεταλλεύσου το γεγονός ότι, αφού οι ακτίνες βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο, το ίδιο συμβαίνει —με αντίστροφη αναλογία— και με τις καμπυλότητές τους.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →