🔵 Τρεις ίσοι κύκλοι και ο χρυσός αριθμός — Βρείτε το CD

Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας \[ \frac12 \] εφάπτονται διαδοχικά μεταξύ τους και σε κοινή ευθεία.

Στον πρώτο κύκλο, τα σημεία \(A\) και \(C\) είναι τα άκρα μιας κατακόρυφης διαμέτρου. Το σημείο \(B\) είναι το σημείο επαφής του τρίτου κύκλου με την κοινή ευθεία.

Η ευθεία \(CB\) τέμνει τον μεσαίο κύκλο στο σημείο \(D\), όπως φαίνεται στο σχήμα.

❓ Να υπολογίσετε ακριβώς το μήκος \(CD\).

💡 Υπόδειξη

Τοποθετήστε σύστημα συντεταγμένων ώστε

\[ A=(0,0),\qquad C=(0,1),\qquad B=(2,0). \]

Βρείτε την εξίσωση της ευθείας \(CB\) και την εξίσωση του μεσαίου κύκλου.

✅ Λύση

Η ευθεία \(CB\) περνά από τα σημεία \[ C=(0,1),\qquad B=(2,0), \] άρα έχει εξίσωση

\[ y=1-\frac{x}{2}. \]

Ο μεσαίος κύκλος έχει κέντρο \[ \left(1,\frac12\right) \] και ακτίνα \[ \frac12, \] οπότε η εξίσωσή του είναι

\[ (x-1)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14. \]

Αντικαθιστούμε \[ y=1-\frac{x}{2}. \] Τότε

\[ (x-1)^2+\frac{(x-1)^2}{4}=\frac14. \]

Άρα

\[ \frac54(x-1)^2=\frac14 \]

και επομένως

\[ (x-1)^2=\frac15. \]

Για το σημείο \(D\) του σχήματος παίρνουμε

\[ x_D=1+\frac1{\sqrt5}. \]

Επειδή το \(D\) βρίσκεται πάνω στην ευθεία \(CB\),

\[ y_D=1-\frac{x_D}{2}. \]

Τώρα

\[ CD= \sqrt{(x_D-0)^2+(y_D-1)^2}. \]

Επειδή \[ y_D-1=-\frac{x_D}{2}, \] έχουμε

\[ CD = x_D\sqrt{1+\frac14} = x_D\frac{\sqrt5}{2}. \]

Άρα

\[ CD= \left(1+\frac1{\sqrt5}\right)\frac{\sqrt5}{2} = \boxed{\frac{1+\sqrt5}{2}}. \]

Δηλαδή

\[ \boxed{CD=\varphi} \]

όπου

\[ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2} \]

είναι ο χρυσός αριθμός.

✨ Το εντυπωσιακό σημείο

Από μια τόσο απλή διάταξη τριών ίσων κύκλων προκύπτει τελικά ο χρυσός αριθμός \[ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}. \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →