🔢 ELMO 2009: Λήμμα του Gauss και Απόδειξη ότι το 2a+b+c δεν Είναι Πρώτος

Έστω \(a,b,c\) θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε

\[ a^2-bc \]

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

\[ 2a+b+c \]

δεν είναι πρώτος.

Λύση.

Θεωρούμε το τριώνυμο

\[ p(x)=bx^2+2ax+c. \]

Η διακρίνουσά του είναι

\[ \Delta=(2a)^2-4bc =4(a^2-bc). \]

Από την υπόθεση, το \(a^2-bc\) είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως και η \(\Delta\) είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα οι ρίζες του \(p(x)\) είναι ρητοί αριθμοί.

Επειδή το \(p(x)\) έχει ακέραιους συντελεστές, το Λήμμα του Gauss μάς επιτρέπει να το παραγοντοποιήσουμε ως γινόμενο δύο γραμμικών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές:

\[ p(x)=(ux+v)(wx+z), \]

όπου \(u,v,w,z\in\mathbb Z\).

Εφόσον \(b>0\) και \(c>0\), μπορούμε να επιλέξουμε την παραγοντοποίηση έτσι ώστε οι σταθεροί και οι πρώτοι συντελεστές να είναι θετικοί.

Επιπλέον, οι ρίζες του \(p(x)\) είναι αρνητικές, αφού

\[ p(x)=bx^2+2ax+c \]

έχει όλους τους συντελεστές θετικούς.

Άρα μπορούμε να γράψουμε

\[ p(x)=(ux+v)(wx+z) \]

με

\[ u,v,w,z>0. \]

Τώρα θέτουμε \(x=1\). Τότε

\[ p(1)=b+2a+c. \]

Από την παραγοντοποίηση:

\[ p(1)=(u+v)(w+z). \]

Επειδή όλοι οι \(u,v,w,z\) είναι θετικοί ακέραιοι, έχουμε

\[ u+v>1 \qquad\text{και}\qquad w+z>1. \]

Άρα το \(p(1)\) γράφεται ως γινόμενο δύο ακεραίων μεγαλύτερων του \(1\).

Επομένως

\[ \boxed{2a+b+c} \]

δεν είναι πρώτος αριθμός.

Η βασική ιδέα: η συνθήκη ότι \(a^2-bc\) είναι τέλειο τετράγωνο κάνει τη διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο, άρα το τριώνυμο παραγοντοποιείται — και στο \(x=1\) εμφανίζεται ακριβώς το \(2a+b+c\).

Πηγή: ELMO 2009, Problem 1 — πρόταση Evan O’Dorney.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →