♾️ Η μέθοδος της άπειρης καθόδου — Η ιδέα του Fermat που μετατρέπει το άπειρο σε αντίφαση

♾️ Η μέθοδος της άπειρης καθόδου

Η άπειρη κάθοδος (descente infinie) είναι μια ισχυρή αποδεικτική τεχνική που συνδέθηκε ιδιαίτερα με τον Pierre de Fermat.

Η κεντρική της ιδέα είναι εξαιρετικά απλή: αν από μια υποτιθέμενη λύση ενός προβλήματος μπορούμε πάντοτε να κατασκευάσουμε μια μικρότερη θετική ακέραια λύση, τότε θα προέκυπτε μια ατέρμονη ακολουθία

\[ a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt a_4 \gt \cdots \]

θετικών ακεραίων.

Αυτό όμως είναι αδύνατο, επειδή κάθε μη κενό σύνολο θετικών ακεραίων έχει ελάχιστο στοιχείο.

🔽 Η λογική της μεθόδου

Υποθέτουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία λύση και επιλέγουμε μία για την οποία η κατάλληλη θετική ακέραια παράμετρος είναι η μικρότερη δυνατή.

Αν από αυτήν μπορέσουμε να κατασκευάσουμε μια ακόμη μικρότερη λύση του ίδιου προβλήματος, τότε προκύπτει αμέσως αντίφαση με την ελαχιστότητα.

Λύση → μικρότερη λύση → ακόμη μικρότερη λύση → ⋯ → αντίφαση.

√2 Ένα κλασικό παράδειγμα

Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι η \(\sqrt2\) είναι ρητός αριθμός.

Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι \(m,n\) τέτοιοι ώστε

\[ \sqrt2=\frac{m}{n}. \]

Από όλες τις δυνατές τέτοιες αναπαραστάσεις επιλέγουμε μία με τον μικρότερο δυνατό θετικό αριθμητή \(m\).

Υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε

\[ m^2=2n^2. \]

Άρα το \(m^2\) είναι άρτιο και συνεπώς και το \(m\) είναι άρτιο. Επομένως υπάρχει θετικός ακέραιος \(m_1\) ώστε

\[ m=2m_1. \]

Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση:

\[ 4m_1^2=2n^2, \]

οπότε

\[ n^2=2m_1^2. \]

Άρα και το \(n^2\), επομένως και το \(n\), είναι άρτιο. Γράφουμε

\[ n=2n_1 \]

για κάποιον θετικό ακέραιο \(n_1\).

Έτσι

\[ \sqrt2 = \frac{m}{n} = \frac{2m_1}{2n_1} = \frac{m_1}{n_1}. \]

Όμως

\[ m_1=\frac{m}{2}\lt m. \]

Βρήκαμε λοιπόν μια νέα αναπαράσταση της \(\sqrt2\) ως λόγου θετικών ακεραίων με αριθμητή μικρότερο από τον \(m\).

Αυτό αντιφάσκει με την επιλογή του \(m\) ως του μικρότερου δυνατού θετικού αριθμητή.

Επομένως η αρχική μας υπόθεση ήταν λανθασμένη και καταλήγουμε στο

\[ \boxed{\sqrt2\notin\mathbb{Q}}. \]

Δηλαδή, η \(\sqrt2\) είναι άρρητος αριθμός.

💡 Η ουσία της άπειρης καθόδου

Αν η ύπαρξη μιας λύσης συνεπάγεται αναγκαστικά την ύπαρξη μιας μικρότερης λύσης και η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναλαμβάνεται, τότε θα δημιουργούνταν μια άπειρη γνησίως φθίνουσα ακολουθία θετικών ακεραίων. Αυτό είναι αδύνατο. Επομένως η αρχική λύση δεν μπορεί να υπάρχει.

Η μέθοδος έχει στενή σχέση με την αρχή της καλής διάταξης των θετικών ακεραίων και συγγενεύει λογικά με τη μαθηματική επαγωγή. Η διαφορά είναι ότι εδώ η αντίφαση προκύπτει κατασκευάζοντας συνεχώς μια μικρότερη περίπτωση.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →