🔢 Το Μικρό Θεώρημα του Fermat — Μια μεγάλη ιδέα για τους πρώτους αριθμούς

Το 1640 ο Pierre de Fermat διατύπωσε μια εντυπωσιακή ιδιότητα των πρώτων αριθμών, η οποία σήμερα είναι γνωστή ως Μικρό Θεώρημα του Fermat.

Αν \(p\) είναι πρώτος αριθμός και ο ακέραιος \(a\) δεν διαιρείται από το \(p\), τότε

\[ \boxed{a^{p-1}\equiv1\pmod p}. \]

Ισοδύναμα, ο αριθμός

\[ a^{p-1}-1 \]

είναι πάντοτε διαιρετός με το \(p\).

✏️ Ένα παράδειγμα

Πάρτε

\[ p=7,\qquad a=20. \]

Επειδή το \(7\) είναι πρώτος και δεν διαιρεί το \(20\), το θεώρημα μάς λέει αμέσως ότι

\[ 20^6\equiv1\pmod 7. \]

Δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουμε τον τεράστιο αριθμό \(20^6\). Γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι

\[ \frac{20^6-1}{7} \]

είναι ακέραιος.

✨ Αυτή είναι μία από τις ομορφιές της Θεωρίας Αριθμών:

χωρίς να κάνουμε έναν τεράστιο υπολογισμό, μπορούμε να γνωρίζουμε κάτι με απόλυτη βεβαιότητα για το αποτέλεσμά του.

Η παρατήρηση του Fermat εξελίχθηκε σε ένα από τα θεμελιώδη αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών και αποτελεί αφετηρία για πολλές μεταγενέστερες ιδέες γύρω από πρώτους αριθμούς και αριθμητική modulo.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →