🔢 Για ποιες ακέραιες τιμές του k η εξίσωση έχει ακέραια λύση;

Έστω \(k\) ένας ακέραιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση

\[ x^{10}+kx^2+4=0 \]

έχει τουλάχιστον μία ακέραια λύση \(x\).

❓ Πρόκληση

Ποιες είναι όλες οι δυνατές ακέραιες τιμές του \[ \boxed{k}; \]

Η παρουσία του \(x^{10}\) ίσως κάνει την εξίσωση να φαίνεται δύσκολη.

Όμως δεν χρειάζεται ούτε να λύσουμε πολυώνυμο δέκατου βαθμού ούτε να δοκιμάσουμε πολλές τιμές.

Το κλειδί βρίσκεται σε μια πολύ απλή ιδέα από τη διαιρετότητα των ακεραίων.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Από την εξίσωση έχουμε

\[ kx^2=-x^{10}-4. \]

Επειδή \(k\) και \(x\) είναι ακέραιοι, σκεφτείτε τι συνεπάγεται αυτό για τη διαιρετότητα του \(4\) από το \(x^2\).

Παρατηρήστε επίσης ότι

\[ x\neq0. \]

Έτσι οι πιθανές ακέραιες τιμές του \(x\) περιορίζονται εντυπωσιακά.

🧠 Μικρή ιδέα — μεγάλη απλοποίηση

Μερικές φορές μια εξίσωση μεγάλου βαθμού δεν είναι πραγματικά πρόβλημα εξισώσεων.

Είναι πρόβλημα διαιρετότητας μεταμφιεσμένο σε πολυώνυμο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →