🔴 Οι κοινές χορδές τριών κύκλων — Ένα όμορφο θεώρημα του Monge

Σχεδιάζουμε τρεις κύκλους που τέμνονται ανά δύο. Κάθε ζεύγος κύκλων έχει μία κοινή χορδή, οπότε προκύπτουν συνολικά τρεις τέτοιες χορδές.

Αν θεωρήσουμε τις ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται αυτές οι χορδές, συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό:

Οι τρεις ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο
ή, στην ειδική περίπτωση, είναι παράλληλες.

Το αποτέλεσμα φαίνεται σχεδόν απρόσμενο. Οι τρεις κύκλοι μπορούν να έχουν διαφορετικά κέντρα και διαφορετικές ακτίνες, κι όμως οι τρεις κοινές χορδές συνδέονται με αυτόν τον αυστηρό γεωμετρικό τρόπο.

📐 Πού κρύβεται η εξήγηση;

Η ευθεία που περνά από τα δύο κοινά σημεία δύο τεμνόμενων κύκλων ονομάζεται ριζικός άξονας των δύο κύκλων.

Κάθε σημείο \(P\) του ριζικού άξονα έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλους:

\[ \operatorname{Pow}_{C_1}(P) = \operatorname{Pow}_{C_2}(P). \]

Έτσι, οι τρεις κοινές χορδές του σχήματος βρίσκονται πάνω στους τρεις ριζικούς άξονες των ζευγών

\[ (C_1,C_2),\qquad(C_2,C_3),\qquad(C_3,C_1). \]

💡 Εμφάνιση της ιδέας της απόδειξης

Έστω ότι οι ριζικοί άξονες των \(C_1,C_2\) και \(C_2,C_3\) τέμνονται στο σημείο \(P\).

\[ \operatorname{Pow}_{C_1}(P) = \operatorname{Pow}_{C_2}(P) \]

και

\[ \operatorname{Pow}_{C_2}(P) = \operatorname{Pow}_{C_3}(P). \]

Άρα

\[ \operatorname{Pow}_{C_1}(P) = \operatorname{Pow}_{C_3}(P). \]

Επομένως το \(P\) βρίσκεται και στον ριζικό άξονα των \(C_1,C_3\). Οι τρεις ευθείες λοιπόν περνούν από το ίδιο σημείο.

✨ Ριζικό κέντρο:
Το κοινό σημείο των τριών ριζικών αξόνων ονομάζεται ριζικό κέντρο των τριών κύκλων.

Τρεις κύκλοι — τρεις κοινές χορδές — ένα κοινό σημείο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →