🔄 Απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή — Πώς αποδεικνύουμε το «Αν P, τότε Q» από την αντίθετη κατεύθυνση

Μία από τις σημαντικότερες τεχνικές μαθηματικής απόδειξης είναι η απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή (proof by contraposition).

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε μια πρόταση της μορφής:

\[ P\Rightarrow Q. \]

Δηλαδή:

«Αν ισχύει το \(P\), τότε ισχύει το \(Q\)».

Αντί όμως να ξεκινήσουμε από το \(P\) και να προσπαθήσουμε να φτάσουμε στο \(Q\), μπορούμε να ακολουθήσουμε έναν διαφορετικό δρόμο.

🧠 Η βασική ιδέα

Η πρόταση

\[ P\Rightarrow Q \]

είναι λογικά ισοδύναμη με την πρόταση

\[ \neg Q\Rightarrow\neg P. \]

Η δεύτερη ονομάζεται αντιθετοαντίστροφη της πρώτης.

🔑 Η λογική ισοδυναμία που πρέπει να θυμόμαστε \[ \boxed{ P\Rightarrow Q \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\Rightarrow\neg P } \]

📋 Γιατί είναι ισοδύναμες;

Αυτό φαίνεται αμέσως από τον πίνακα αληθείας:

\(P\)	\(Q\)	\(\neg Q\)	\(\neg P\)	\(P\Rightarrow Q\)	\(\neg Q\Rightarrow\neg P\)
Α	Α	Ψ	Ψ	Α	Α
Α	Ψ	Α	Ψ	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ	Α	Α	Α
Ψ	Ψ	Α	Α	Α	Α

Οι δύο τελευταίες στήλες είναι πανομοιότυπες. Επομένως οι προτάσεις

\[ P\Rightarrow Q \]

και

\[ \neg Q\Rightarrow\neg P \]

έχουν πάντοτε την ίδια τιμή αληθείας.

⚠️ Προσοχή: δεν είναι η αντίστροφη πρόταση

Δεν πρέπει να συγχέουμε την αντιθετοαντίστροφη

\[ \neg Q\Rightarrow\neg P \]

με την αντίστροφη

\[ Q\Rightarrow P. \]

Η αντίστροφη πρόταση δεν είναι γενικά λογικά ισοδύναμη με την αρχική.

Παράδειγμα:

Αν ένας ακέραιος διαιρείται με το \(4\), τότε είναι άρτιος.

Αυτό είναι αληθές. Η αντίστροφη όμως

«Αν ένας ακέραιος είναι άρτιος, τότε διαιρείται με το \(4\)»

είναι ψευδής. Για παράδειγμα, ο \(6\) είναι άρτιος αλλά δεν διαιρείται με το \(4\).

📝 Πώς στήνουμε μια απόδειξη με αντιθετοαντιστροφή;

Για να αποδείξουμε

\[ P\Rightarrow Q, \]

ακολουθούμε το εξής σχήμα:

Πρόταση: Αν \(P\), τότε \(Q\).

Απόδειξη:

Υποθέτουμε ότι το \(Q\) δεν ισχύει, δηλαδή ότι ισχύει \(\neg Q\).

⋮

Με λογικά επιχειρήματα και τις κατάλληλες μαθηματικές ιδιότητες καταλήγουμε ότι ισχύει \(\neg P\).

Επομένως \(\neg Q\Rightarrow\neg P\), άρα \(P\Rightarrow Q\).

✏️ Ένα απλό παράδειγμα

Ας αποδείξουμε την πρόταση:

Αν \(n^2\) είναι άρτιος, τότε ο \(n\) είναι άρτιος.

Η άμεση απόδειξη δεν είναι ο πιο φυσικός δρόμος. Ας χρησιμοποιήσουμε την αντιθετοαντιστροφή.

Η αντιθετοαντίστροφη πρόταση είναι:

Αν ο \(n\) δεν είναι άρτιος, τότε το \(n^2\) δεν είναι άρτιο.

Δηλαδή αρκεί να αποδείξουμε:

Αν \(n\) είναι περιττός, τότε \(n^2\) είναι περιττός.

Αν ο \(n\) είναι περιττός, υπάρχει ακέραιος \(k\) ώστε

\[ n=2k+1. \]

Τότε

\[ n^2=(2k+1)^2 =4k^2+4k+1 =2(2k^2+2k)+1. \]

Επομένως το \(n^2\) είναι περιττός.

Άρα αποδείξαμε την αντιθετοαντίστροφη πρόταση και συνεπώς:

\[ \boxed{ n^2\ \text{άρτιος} \Rightarrow n\ \text{άρτιος} } \]

🎯 Πότε είναι χρήσιμη;

Η αντιθετοαντιστροφή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν το \(\neg Q\) μας δίνει πιο συγκεκριμένες πληροφορίες από το \(P\) ή όταν η άμεση προσπάθεια να περάσουμε από το \(P\) στο \(Q\) γίνεται δύσκολη.

💡 Να θυμάστε: \[ \boxed{ P\Rightarrow Q \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\Rightarrow\neg P } \]

Για να αποδείξουμε λοιπόν το «αν \(P\), τότε \(Q\)», μπορούμε να υποθέσουμε ότι το \(Q\) είναι ψευδές και να αποδείξουμε ότι τότε αναγκαστικά και το \(P\) είναι ψευδές.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →