⭕ Γιατί το εμβαδόν του κύκλου είναι πr²; Μια πανέμορφη οπτική απόδειξη

Υπάρχει ένας εξαιρετικά όμορφος τρόπος να «δούμε» τον γνωστό τύπο για το εμβαδόν του κύκλου.

Φανταστείτε ότι χωρίζουμε έναν κύκλο ακτίνας \(r\) σε πάρα πολλούς, εξαιρετικά λεπτούς ομόκεντρους δακτυλίους.

✂️ Από τους δακτυλίους στις λωρίδες

Κάθε δακτύλιος μπορεί να κοπεί και να «ξετυλιχθεί», σχηματίζοντας περίπου μια πολύ λεπτή ορθογώνια λωρίδα.

Ένας δακτύλιος που βρίσκεται σε απόσταση \(x\) από το κέντρο έχει μήκος περίπου ίσο με την περίμετρό του:

\[ 2\pi x. \]

Όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο, οι λωρίδες γίνονται μεγαλύτερες. Η μεγαλύτερη, που αντιστοιχεί στην περιφέρεια του κύκλου, έχει μήκος

\[ 2\pi r. \]

🔺 Εμφανίζεται ένα τρίγωνο

Αν τοποθετήσουμε αυτές τις ολοένα μεγαλύτερες λωρίδες τη μία πάνω στην άλλη, τότε, καθώς το πάχος τους τείνει στο μηδέν, το σχήμα που προκύπτει προσεγγίζει ένα τρίγωνο.

Το τρίγωνο αυτό έχει:

βάση \(2\pi r\) και ύψος \(r\).

Επομένως το εμβαδόν του είναι

\[ A=\frac12(2\pi r)\,r. \]

Άρα

\[ \boxed{A=\pi r^2}. \]

💡 Τι κρύβεται πίσω από την εικόνα;

Η κατασκευή είναι μια διαισθητική μορφή ολοκλήρωσης. Κάθε πολύ λεπτός δακτύλιος ακτίνας \(x\) και πάχους \(dx\) έχει εμβαδόν περίπου \(2\pi x\,dx\). Προσθέτοντας όλους τους δακτυλίους από το κέντρο μέχρι την περιφέρεια παίρνουμε ακριβώς το εμβαδόν του κύκλου.

Έτσι, ο γνωστός τύπος \(A=\pi r^2\) δεν εμφανίζεται απλώς ως ένας τύπος που πρέπει να θυμόμαστε. Μπορούμε σχεδόν να τον δούμε να σχηματίζεται.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →