Φανταστείτε ότι τοποθετούμε έναν κόκκο ρυζιού στο πρώτο τετράγωνο μιας σκακιέρας.
Στο δεύτερο τετράγωνο τοποθετούμε δύο κόκκους, στο τρίτο τέσσερις, στο τέταρτο οκτώ και συνεχίζουμε, διπλασιάζοντας κάθε φορά την ποσότητα.
Έτσι σχηματίζεται η γεωμετρική πρόοδος:
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ldots \]
Πόσοι κόκκοι ρυζιού χρειάζονται για να γεμίσουμε και τα 64 τετράγωνα της σκακιέρας σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα;
Το συνολικό πλήθος είναι:
\[ S=1+2+2^2+\cdots+2^{63}. \]
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος μιας γεωμετρικής προόδου, βρίσκουμε:
\[ \boxed{S=2^{64}-1} \]
Δηλαδή:
18.446.744.073.709.551.615 κόκκοι!
Το πιο εκπληκτικό αποτέλεσμα
Μόνο στο 64ο τετράγωνο υπάρχουν:
\[ 2^{63}=9\,223\,372\,036\,854\,775\,808 \]
Ενώ στα προηγούμενα 63 τετράγωνα υπάρχουν συνολικά:
\[ 2^{63}-1=9\,223\,372\,036\,854\,775\,807. \]
Επομένως, το τελευταίο τετράγωνο έχει ακριβώς έναν κόκκο περισσότερο από όλα τα προηγούμενα μαζί!
Μια απλή σκακιέρα αποκαλύπτει την εκπληκτική δύναμη της εκθετικής αύξησης και το πόσο δύσκολο είναι να αντιληφθούμε διαισθητικά τέτοια μεγέθη.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου