Ο $Ν$ είναι ένας 50 - ψήφιος αριθμός. Όλα τα ψηφία του, εκτός από το 26ο, είναι $1$. Αν ο $Ν$ διαιρείται με το $13$, να βρεθεί το 26ο ψηφίο.
India Mathematical Olympiad 1990
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Τράπεζα Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων
1 σχόλιο:
Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφή1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,x,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
Χωρίζουμε τα ψηφία του ανωτέρω αριθμού σε τριάδες από δεξιά προς τ’ αριστερά:
11,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,
111,111,111,111,111
Χωρίζουμε τον αριθμό σε τριάδες από αριστερά προς τα δεξιά:
111,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,111,111,111,111,11
Χωρίζουμε τον αριθμό σε εξάδες από αριστερά προς τα δεξιά και αφαιρούμε ανά τριάδες και τη διαφορά τη προσθέτουμε στην επόμενη διαφορά:
(111-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11x-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11)
0+0+0+0+(11x-111)+0+0+0+(11)
Από το ανωτέρω συνάγουμε:
(11x-111)+(11)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο «x» τιμές από το 0 έως το 9, βλέπουμε ότι η μόνη τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι η τιμή 3.
(11x-111)+(11) --> (113-111)+11 --> 2+11=13
Για x = 0 δίνει 10
Για x = 1 δίνει 11
Για x = 2 δίνει 12
Για x = 3 δίνει 13
Για x = 4 δίνει 14
Για x = 5 δίνει 15
Για x = 6 δίνει 16
Για x = 7 δίνει 17
Για x = 8 δίνει 18
Για x = 9 δίνει 19
Επαλήθευση:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=52:13=4