Δεδομένου ότι δεν υπάρχει τριάδα μαθητών που να είναι και οι τρεις φίλοι ανά δύο, βρείτε τον ελάχιστο δυνατό αριθμό μαθητών σε αυτό το σχολείο.
🏆 IMO Problem Bank: 67 Years of International Mathematical Olympiad Problems (1959–2025) | Free Online Archive
3 σχόλια:
Έχω την εκτίμηση ότι η ορθή διατύπωση θα έπρεπε να είναι 'δεν υπάρχει τριάδα μαθητών που να είναι ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΕΙΣ φίλοι ανά δύο', αλλιώς δε βγάζει νόημα. Αν είναι έτσι, η απάντησή μου είναι η εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΞεκινάμε από 111 μαθητές και καμία φιλία. Προσθέτουμε 1 μαθητή,τον Α, που έχει φίλους και τους 111. Τώρα έχουμε 112 μαθητές, όπου Ο Α έχει φίλους τους άλλους 111 και οι 111 έχουν φίλο μόνο τον Α. Προσθέτουμε ακόμα 1 μαθητή, τον Β, που έχει φίλους τους 110 και όχι φίλο 1, έστω τον Ω, από τους 111 αρχικούς. Τώρα έχουμε 113 μαθητές, όπου ο Α έχει 111 φίλους, ο Β 110 φίλους, ο Ω 1 φίλο και οι υπόλοιποι 110 έχουν 2 φίλους ο καθένας. Συνεχίζουμε με παρόμοιο τρόπο, προσθέτοντας κάθε φορά 1 μαθητή, τον Γ, τον Δ κ.ο.κ., που έχει αντίστοιχα φίλους τους 109, 108, κ.ο.κ από τους αρχικούς 111 και εξαιρώντας κάθε φορά 1 μαθητή, τον Ψ, τον Χ κ.ο.κ. που έχει αντίστοιχα 3, 4 κ.ο.κ φίλους.
Με αυτό τον τρόπο, μέχρι να συναντηθούν η ελάττωση φίλων από πάνω και η παράλληλη αύξηση φίλων από κάτω, καταλήγουμε τελικά με 111+(1+111)/2=167 μαθητές. Μεταξύ των 167 υπάρχει μαθητής με 1, 2, 3, ... 111 φίλους, αλλά δεν υπάρχει τριάδα φίλων.
Θανάση, έτσι είναι ! Αυτή είναι η σωστή διατύπωση, γιατί αλλιώς θα είχαμε άτοπο, διότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο φίλοι, άρα υπάρχει σίγουρα τριάδα όπου δύο είναι φίλοι μεταξύ τους.
ΔιαγραφήΤο διόρθωσα. Ευχαριστώ ...
ΑπάντησηΔιαγραφή