Λέμε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι απλός αν καθένας από τους αριθμούς $a, a + 1$ και $a + 2$ είναι
ελεύθερος τετραγώνου.
Υπάρχουν άπειροι απλοί ακέραιοι αριθμοί;
🏆 IMO Problem Bank: 67 Years of International Mathematical Olympiad Problems (1959–2025) | Free Online Archive
1 σχόλιο:
Αν Α(ν) είναι το πλήθος των ελεύθερων τετραγώνου θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι του ν, τότε αποδεικνύεται (το προτείνω σαν άσκηση για ρέκτες ☺) ότι το όριο του λόγου Α(ν)/ν, για ν->∞, είναι 6/π^2 (=0,608 περίπου).
ΑπάντησηΔιαγραφήΤούτου δοθέντος, η απάντηση στο αν υπάρχουν ή όχι άπειρες τριάδες διαδοχικών ελεύθερων τετραγώνου ακεραίων είναι νομίζω απλή. Αν υποθέσουμε ότι μετά από κάποιο σημείο παύουν να εμφανίζονται τέτοιες τριάδες, τότε θα έπρεπε από εκείνο το σημείο και μετά κάθε τετράδα διαδοχικών ακεραίων να περιέχει τουλάχιστον 2 μη ελεύθερους τετραγώνου ακεραίους. Αλλά τότε, το όριο Α(ν)/ν για ν->∞ θα κατέληγε σε 1/2 ή μικρότερο, άτοπο.
Άρα, η απάντηση είναι ναι.