Θεωρήστε ένα σύνολο από ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων στο επίπεδο, έτσι ώστε αν επιλέξουμε τρία οποιαδήποτε σημεία $A, B, C$ από το σύνολο, τότε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ είναι μικρότερο από $1$.
Δείξτε ότι όλα αυτά τα σημεία μπορούν να καλυφθούν από ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι μικρότερο από $4$.
1 σχόλιο:
Έστω Κ ο ελάχιστης ακτίνας κύκλος που περιέχει όλα τα υπόψη σημεία. Το μέγιστου εμβαδού τρίγωνο Τ που έχει τις κορυφές του στον κύκλο Κ είναι το ισόπλευρο και εξ ορισμού εμβ. Τ < 1. Αν τώρα φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου Κ σε κάθε κορυφή τού Τ, αυτές σχηματίζουν ένα νέο ισόπλευρο τρίγωνο, εμβαδού 4 × εμβ. Τ < 4, που περιέχει ολόκληρο τον κύκλο Κ, άρα και όλα τα σημεία που περιέχει ο Κ, ό.έ.δ.
ΑπάντησηΔιαγραφή