Άθροισμα Αντιστρόφων Ακεραίων με Ψηφία 1 και 2: Φράγματα και Υπολογισμοί

Έστω $A$ το σύνολο των θετικών ακεραίων που περιέχουν μόνο τα ψηφία $1$ ή $2$. Ορίζουμε το ακόλουθο άθροισμα: $$S = \sum_{n \in A} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{22} + \dfrac{1}{111} + \dots$$

(α) Πόσα στοιχεία του συνόλου $A$ έχουν ακριβώς $n$ ψηφία; Η απάντησή σας πρέπει να εκφράζεται συναρτήσει του $n$.

(β) Δείξτε ότι $S \leq 3$. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα του (α).

(γ) Βρείτε όσο το δυνατόν ακριβέστερα άνω και κάτω φράγματα για το $S$.