Ακεραιότητα Αριθμού με Συνδυασμούς Παραγοντικών Τιμών

Αποδείξτε ότι για κάθε \( n \geq 1 \) ο αριθμός \[ \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + n^2)!}{(1!)^2 \cdot (2!)^3 \cdot (3!)^4 \cdot \dots \cdot (n!)^{n+1}} \] είναι ακέραιος.