Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [14-19]

14. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\dfrac{A\alpha^4}{\pi - A} + \dfrac{B\beta^4}{\pi - B} + \dfrac{\Gamma\gamma^4}{\pi - \Gamma} \ge 8E$$ 15. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\dfrac{\alpha^4}{\beta^8(\gamma^4 + \alpha^4)} + \dfrac{\beta^4}{\beta^8(\alpha^4 + \beta^4)} + \dfrac{\gamma^4}{\alpha^8(\beta^4 + \gamma^4)} \ge \dfrac{1}{2R^2}$$

 

16. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\dfrac{\alpha^5}{2\alpha + \beta + \gamma} + \dfrac{(\alpha + \beta)\beta^4}{\gamma^4} + \dfrac{\gamma^4}{\alpha^8(\beta^4 + \gamma^4)} \ge 8E^2$$ 17. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\dfrac{\kappa\alpha^2}{\lambda + \mu} + \dfrac{\lambda\beta^2}{\mu + \kappa} + \frac{\mu\gamma^2}{\kappa + \lambda} \ge 2E\sqrt{4 - \dfrac{2\rho}{R}} \ge 2E\sqrt{3}$$ 18. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\dfrac{\alpha^2}{\kappa} + \dfrac{\beta^2}{\lambda} + \dfrac{\gamma^2}{\mu} \ge \dfrac{(\alpha + \beta + \gamma)^2}{\kappa + \lambda + \mu}$$ 19. Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ να αποδειχθεί: $$\sum \dfrac{\kappa\alpha^2(\beta + \gamma - \alpha)^2}{\lambda + \mu} \ge 8E^2$$ Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Κοντογιάννη.