Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [16]

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(1) = 0$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 

$f(x) \ge x \ln x$ 

για κάθε $x \in (0, +\infty)$.

α) Να αποδείξετε ότι $f'(1) = 1$.

β) Να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{\ln x}$. 

Αν επιπλέον ισχύει 

$\int_1^e \dfrac{f(x)}{x} \, dx = 1$

τότε:

γ) Να αποδείξετε ότι $f(x) = x \ln x$ για κάθε $x \in [1, e]$.

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται στο διάστημα $[1, e]$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$.

ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_{f^{-1}}$ της συνάρτησης $f^{-1}$ διέρχεται από το σημείο $A\left(\dfrac{e}{2}, \dfrac{\sqrt{e}}{2}\right)$ και στη συνέχεια θεωρώντας ότι η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f^{-1}}$ στο σημείο της $A$.

iii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[1, e]$ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι 

$\ln \dfrac{e+1}{2} < \dfrac{e}{e+1}$.