Του Δημήτρη Σπαθάρα
Δίνεται η συνάρτηση
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x \ln x}{x-1} + 3 - \lim_{x \to 1} f(x), & \text{αν } 0 < x \neq 1 \\ 2, & \text{αν } x = 1 \end{cases}$
Δ1) Να δείξετε ότι
$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $(0, +\infty)$.
Δ3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $AB$, όπου $A(1, f(1))$ και $B(2, f(2))$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε $x \in [1, 2]$ η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από την ευθεία $AB$ εκτός από τα κοινά τους σημεία $A$ και $B$.
Δ4) α) Να δείξετε ότι
$\int_1^2 f(x) dx > \dfrac{3 + \ln 4}{2}$.
β) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω ανισότητας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου