Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [25]

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:

• $f(x) \neq 0$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 
• $(3x^2 f^2(x) - 1) f'(x) + x f''(x) = 0$, για κάθε $x \neq 0$ 
• $f(1) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ και $f'(1) = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 

α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$, $x \in \mathbb{R}$. 

 β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της $C_f$. 

 γ) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(x) + f(3x) = f(2x) + f(5x)$. 

 δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση 

$h(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 

ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι 

$f^2\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right) < f(\alpha) f(\beta) \quad \text{για } 1 < \alpha < \beta.$