Πότε Θα Έρθει το Τέλος του Κόσμου; — Ένα Πρόβλημα με Μονόδρομους και Σπίτια

Σε μια περιοχή υπάρχουν n σπίτια, το καθένα με έναν κάτοικο. Υπάρχουν μονόδρομοι που συνδέουν τα σπίτια με τους εξής κανόνες:

• Κάθε μονόδρομος συνδέει δύο σπίτια.
• Από κάθε σπίτι ξεκινάει ακριβώς ένας μονόδρομος.
• Σε κάθε σπίτι καταλήγει ακριβώς ένας μονόδρομος.
  

Κάθε μέρα, όλοι οι κάτοικοι μετακινούνται ταυτόχρονα στο γειτονικό σπίτι όπου οδηγεί ο μονόδρομος που ξεκινάει από το σπίτι τους.

Ένας θρύλος λέει ότι όταν όλοι οι κάτοικοι επιστρέψουν ταυτόχρονα στα αρχικά τους σπίτια, τότε θα έρθει το τέλος του κόσμου.

---

(α) Δείξτε ότι το τέλος του κόσμου θα έρθει σίγουρα κάποια στιγμή.

(β) Αν $n = 98$, δείξτε ότι είναι δυνατόν να σχεδιαστούν και να προσανατολιστούν οι μονόδρομοι έτσι ώστε το τέλος του κόσμου να μην έρθει πριν περάσουν $300.000$ μέρες.