Όταν το Μαζί Είναι Μεγαλύτερο: Η Ανισότητα του Chebyshev

Έστω $f(x)$ και $g(x)$ δύο πραγματικές συναρτήσεις, ορισμένες και ολοκληρώσιμες στο διάστημα $[a,b]$, οι οποίες είναι και οι δύο $\textbf{μονότονες}$ (είτε και οι δύο $\textbf{αύξουσε}$, είτε και οι δύο $\textbf{φθίνουσες}$). 

Τότε ισχύει η ανισότητα: $$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)g(x)\,dx \ge (\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx )(\dfrac{1}{b-a} \int_a^b g(x)\,dx) $$

Αντίθετη μονοτονία:

Αν η μία από τις δύο συναρτήσεις είναι $\textbf{αύξουσα}$ και η άλλη $\textbf{φθίνουσα}$, τότε η ανισότητα $\textbf{αντιστρέφεται}$: $$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)g(x)\,dx \le (\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx )(\dfrac{1}{b-a} \int_a^b g(x)\,dx) $$

Διαισθητική Ερμηνεία

Αν δύο συναρτήσεις κινούνται "μαζί'' (και οι δύο αυξάνονται ή και οι δύο φθίνουν), τότε ο $\textbf{μέσος όρος του γινομένου}$ τους είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο το $\textbf{γινόμενο των μέσων όρων}$ τους. 

Αντίθετα, αν η μία αυξάνεται και η άλλη μειώνεται, "αντιστέκονται'' η μία στην άλλη, και το ολοκλήρωμα του γινομένου τους είναι μικρότερο από το γινόμενο των μέσων όρων. 

Παράδειγμα 

Έστω οι συναρτήσεις $f(x) = x$, $g(x) = x^2$ στο $[0,1]$. Και οι δύο είναι αύξουσες.

Υπολογίζουμε:

$$\int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4}$$

Μέσοι όροι:

$$\frac{1}{1-0} \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{1-0} \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$$

Γινόμενο μέσων όρων: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Και πράγματι:

$$\frac{1}{4} > \frac{1}{6}$$

Άρα επιβεβαιώνεται η ανισότητα του Chebyshev.