🌀 Γιατί η Περιφέρεια του Κύκλου Δεν Είναι Ρητός Αριθμός

 Πώς ένας απλός τύπος μας οδηγεί σε μια άπειρη αλήθεια

📅 23 Μαΐου 2025
✍️ Eisatopon Math AI Challenges

---

🔍 Τι είναι η περιφέρεια ενός κύκλου;

Η περιφέρεια ενός κύκλου δίνεται από τον γνωστό τύπο:

$$\text{Π} = 2\pi r$$

Αν ο κύκλος μας είναι μοναδιαίος, δηλαδή έχει ακτίνα $r=\mathrm{1,\; \tau ό\tau \epsilon \; \eta \; \pi \epsilon \rho \iota \phi έ\rho \epsilon \iota \alpha \; \gamma ί\nu \epsilon \tau \alpha \iota :}$

$$\text{Π} = 2\pi$$

Μπορεί αυτός ο αριθμός να είναι ρητός; Δηλαδή να γράφεται ως απλό κλάσμα;

---

❗ Όχι! Το $2\pi$ είναι άρρητος αριθμός

Ο αριθμός $\pi$, που εκφράζει την αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο κάθε κύκλου, δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. Είναι δηλαδή άρρητος αριθμός.
Αυτό αποδείχθηκε για πρώτη φορά το 1761 από τον Johann Lambert.

Εφόσον το $\pi$ είναι άρρητος, τότε και το γινόμενο $2\pi$ είναι επίσης άρρητος αριθμός.

Άρα η περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου είναι κι αυτή άρρητος αριθμός!

---

📌 Τι σημαίνει αυτό;

• Δεν μπορούμε ποτέ να γράψουμε την ακριβή τιμή της περιφέρειας του μοναδιαίου κύκλου με πεπερασμένο αριθμό ψηφίων.

• Ο αριθμός $2\pi \approx 6.283185\ldots$συνεχίζει για πάντα χωρίς να εμφανίζει περιοδικότητα ή επανάληψη.

• Κανένα κλάσμα όπως $\frac{22}{7}$, $\frac{355}{113}$ ή άλλο δεν μπορεί να αποδώσει την ακριβή τιμή της περιφέρειας.

---

🧠 Μαθηματικές συνέπειες

Η αριθμητική αρρητότητα της περιφέρειας συνδέεται άμεσα με άλλα μεγάλα αποτελέσματα:

• Το περίφημο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου είναι αδύνατο ακριβώς επειδή το $\pi$ είναι υπερβατικός αριθμός.

• Η έννοια του άπειρου και η μη δυνατότητα τέλειας μέτρησης μιας απλής γεωμετρικής ποσότητας μας υπενθυμίζει τα όρια της λογικής και της αριθμητικής.