Τι Είναι η Μοναδικότητα στα Μαθηματικά και Πώς Συμβολίζεται

Στα μαθηματικά και τη λογική, συναντάμε συχνά δηλώσεις του τύπου "υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο που ικανοποιεί μια συνθήκη". Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται μοναδικότητα και είναι θεμελιώδες για την αυστηρότητα της μαθηματικής απόδειξης και σκέψης.

Αν έχεις δει το σύμβολο ∃!, αυτό είναι το σύμβολο της μοναδικής ύπαρξης: σημαίνει ότι υπάρχει ένα και μόνο ένα στοιχείο που κάνει μια πρόταση αληθινή.

---

🔍 Τι Σημαίνει "∃! x P(x)";

Η δήλωση:

∃! x P(x)

διαβάζεται ως:
"Υπάρχει ακριβώς ένα x τέτοιο ώστε να ισχύει η συνθήκη P(x)".

Αυτό σημαίνει δύο πράγματα ταυτόχρονα:

1. Υπάρχει τουλάχιστον ένα x που ικανοποιεί τη συνθήκη P(x):
   → ∃x P(x)

2. Δεν υπάρχει δεύτερο διαφορετικό στοιχείο που να την ικανοποιεί:
   → ∀x ∀y [P(x) ∧ P(y) ⇒ x = y]

Συνοπτικά, η πλήρης λογική μορφή είναι:

∃x [P(x) ∧ ∀y (P(y) ⇒ y = x)]

---

✅ Παράδειγμα 1: Αληθής Δήλωση Μοναδικότητας

P(x): x + 3 = 7

Η δήλωση ∃!x (x + 3 = 7) σημαίνει:
"Υπάρχει ακριβώς ένα x τέτοιο ώστε x + 3 = 7".

Λύνουμε:
x + 3 = 7 ⟹ x = 4

Μόνο το x = 4 ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη.

📌 Άρα η δήλωση είναι αληθής – η λύση είναι μοναδική.

---

❌ Παράδειγμα 2: Ψευδής Δήλωση Μοναδικότητας

P(x): x² = 1

Η δήλωση ∃!x (x² = 1) σημαίνει:
"Υπάρχει ακριβώς ένα x τέτοιο ώστε x² = 1".

Αλλά:
x² = 1 έχει δύο λύσεις: x = 1 και x = –1.

📌 Άρα η δήλωση είναι ψευδής – υπάρχουν δύο τιμές του x που ικανοποιούν τη συνθήκη.