Ο Μοναχικός Ισορροπημένος Αριθμός;

Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο n ισορροπημένο, αν ο μέσος όρος των μονάδων (δηλαδή του ψηφίου 1) που εμφανίζονται στα ψηφία των αριθμών από το 1 μέχρι και το n, είναι ακριβώς ίσος με 1.

📌 Για παράδειγμα:

• Το $n = 1$ είναι ισορροπημένο, αφού το μόνο ψηφίο είναι το 1 → μέσος όρος = 1.

• Το $n = 2$ δεν είναι ισορροπημένο, αφού έχουμε τα ψηφία {1, 2} → 1 μονάδα σε 2 ψηφία → μέσος όρος = $\frac{1}{2}$.

• Το $n = 11$: Αν καταγράψουμε όλα τα ψηφία των αριθμών από 1 έως 11, προκύπτει το σύνολο:

  $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1\}$$

  δηλαδή 4 μονάδες σε 12 ψηφία → μέσος όρος = $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, άρα δεν είναι ισορροπημένος.

Ερώτημα:
Είναι το 1 ο μόνος ισορροπημένος θετικός ακέραιος αριθμός; Ή μήπως υπάρχουν και άλλοι που πληρούν αυτή τη σπάνια ιδιότητα;