Γιατί το $e^ π −π≈20$; Μια απίστευτη προσέγγιση με βαθιές ρίζες!

🔹 Η προσέγγιση:

$$e^{\pi }-\pi \approx 19.999099979$$

Αυτό είναι εντυπωσιακά κοντά στον αριθμό 20.

Δεν είναι ακριβώς 20, αλλά πολύ κοντά. Από αυτό προκύπτει μια σχεδόν «μαγική» προσέγγιση:

$$e^{\pi }\approx \pi +20$$

Αν θέλει κανείς να το προσεγγίσει περαιτέρω, τότε με την προσεγγιστική τιμή:

$$\pi \approx \frac{22}{7}\Rightarrow e^{\pi }-\pi \approx 20$$

που δίνει μια όμορφη μαθηματική αισθητική, αν και δεν πρόκειται για αυστηρή εξίσωση.

---

🔹 Σύνδεση με τους μιγαδικούς και τον Euler:

Εφόσον:

$$e^{\pi }\approx \pi +20\Rightarrow (\pi +20{)}^i\approx e^{i\pi }=-1$$

Αλλά εφόσον $\pi + 20$ είναι λίγο μεγαλύτερο από το $e^{\pi}$, έχουμε:

$$(\pi +20{)}^i\approx -1+\epsilon$$

και πράγματι:

$$(\pi +20{)}^i\approx -0.9999999992-0.00000388927i$$

που είναι πολύ κοντά στο $-1$, επιβεβαιώνοντας την προσέγγιση.