Παρατηρώντας ένα αρχικό τμήμα από πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους του 2 (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...), διαπιστώνουμε ότι κάποιοι από αυτούς –όπως οι 5, 13 και 17– μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα δύο τετραγώνων:
-
5 = 1² + 2²
-
13 = 2² + 3²
-
17 = 1² + 4²
Αντίθετα, άλλοι όπως οι 3, 7 και 11 δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα.
Πώς μπορούμε να ξεχωρίσουμε αυτούς τους πρώτους αριθμούς χωρίς να δοκιμάζουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά;
📜 Ο Pierre Fermat (1601–1665), σε επιστολή του στον Marin Mersenne τα Χριστούγεννα του 1640, διατύπωσε μια εκπληκτική πρόταση:
«Κάθε πρώτος αριθμός της μορφής 4n + 1 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων.»
Την απόδειξη της πρότασης ανέλαβε αργότερα ο Leonhard Euler, τιμώντας έτσι τον Fermat. Σήμερα είναι γνωστή ως Θεώρημα των Fermat–Euler.
🔍 Άρα, κάθε πρώτος αριθμός που αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί με το 4 (δηλαδή είναι της μορφής 4n + 1), μπορεί να γραφεί ως $a^2 + b^2$, ενώ οι πρώτοι της μορφής 4n + 3 δεν μπορούν.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου