Μια δύσκολη εξίσωση Pell: Το τετράγωνο του 1597x² + 1

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Είναι ποτέ ακέραιος ο αριθμός

$$y = \sqrt{1597x^2 + 1}$$

για κάποιον θετικό ακέραιο $x$;

---

🔍 Ανάλυση:

Αν το y είναι ακέραιος, τότε το τετράγωνό του είναι επίσης ακέραιος. Άρα:

$$y^2 = 1597x^2 + 1 \Rightarrow y^2 - 1597x^2 = 1$$

Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως εξίσωση Pell:

$$y^2 - D x^2 = 1$$

όπου εδώ $D = 1597$.

---

🧠 Τι γνωρίζουμε για τις εξισώσεις Pell;

Οι εξισώσεις Pell έχουν άπειρες ακέραιες λύσεις όταν το $D$

$D$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Ωστόσο, η ελάχιστη (μη τετριμμένη) λύση μπορεί να περιέχει τεράστιους αριθμούς, που καθιστούν την επίλυση δύσκολη χωρίς υπολογιστική βοήθεια.

Για το $D = 1597$, η πρώτη (θετική) λύση της εξίσωσης:

$$y^2 - 1597x^2 = 1$$

είναι:

$$x = 1{,}405{,}845{,}019{,}401{,}320{,}145 \quad\text{και}\quad y = 56{,}153{,}670{,}420{,}620{,}277{,}761$$

✅ Συμπέρασμα:

Ναι, υπάρχει θετικός ακέραιος $x$ τέτοιος ώστε

$$y = \sqrt{1597x^2 + 1}$$

να είναι επίσης ακέραιος. Όμως η πρώτη τέτοια περίπτωση εμφανίζεται για έναν αριθμό x με πάνω από 18 ψηφία!

👉 Γι’ αυτό η συμβουλή που συνοδεύει το πρόβλημα —«Μην επιχειρήσετε να το λύσετε χωρίς υπολογιστή»— είναι απολύτως δικαιολογημένη.