Το Θεώρημα του Poncelet: Περιοδικές Τροχιές Ανάμεσα σε Δύο Κύκλους

Ας υποθέσουμε ότι στο επίπεδο δίνονται δύο κύκλοι, με τον δεύτερο να βρίσκεται εσωτερικά του πρώτου.

Έστω ότι υπάρχει μια κλειστή πολυγωνική γραμμή με $n$ πλευρές, της οποίας όλες οι κορυφές βρίσκονται στον εξωτερικό (πρώτο) κύκλο και όλες οι πλευρές της εφάπτονται στον εσωτερικό (δεύτερο) κύκλο.

Τότε το Θεώρημα του Poncelet δηλώνει ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες κλειστές $n$-πλευρες πολυγωνικές γραμμές, και μάλιστα:

• οποιοδήποτε σημείο του εξωτερικού κύκλου μπορεί να χρησιμεύσει ως αρχική κορυφή μιας τέτοιας πολυγωνικής γραμμής,

• και η διαδικασία κατασκευής μπορεί να επαναληφθεί ξεκινώντας από αυτό το σημείο με το ίδιο πλήθος πλευρών.

Η κατασκευή αυτής της πολυγωνικής γραμμής πραγματοποιείται βήμα προς βήμα: από ένα σημείο του εξωτερικού κύκλου, φέρνουμε εφαπτομένη στον εσωτερικό κύκλο, η οποία τέμνει ξανά τον εξωτερικό κύκλο και μας δίνει το επόμενο σημείο, και ούτω καθεξής.

Αυτή η διαδικασία ονομάζεται διαδικασία του Poncelet για το συγκεκριμένο ζεύγος κύκλων, και η τελική πολυγωνική γραμμή ονομάζεται πολυγωνική γραμμή του Poncelet ή τροχιά Poncelet.

Ουσιαστικά, το θεώρημα υποστηρίζει ότι:

Αν η τροχιά του Poncelet που ξεκινά από ένα σημείο είναι περιοδική (δηλαδή κλείνει μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων), τότε η ίδια περιοδικότητα θα συμβαίνει για οποιοδήποτε άλλο αρχικό σημείο του εξωτερικού κύκλου. Δηλαδή, η ίδια πολυγωνική γραμμή μπορεί να "περιστραφεί" γύρω από τους δύο κύκλους, παράγοντας άπειρες τέτοιες τροχιές.