Πώς να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του $2^{2022}$ — Ένα απλό παράδειγμα θεωρίας αριθμών

Ερωτήσεις όπως η παρακάτω εμφανίζονται συχνά σε διαγωνισμούς μαθηματικών και τεστ γυμνασίου:

Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του $2^{2022}$.

Αν δεν έχετε ξανασυναντήσει κάτι παρόμοιο, μπορεί να φαίνεται σαν ένας υπολογιστικός εφιάλτης — πώς να υπολογίσετε το τεράστιο $2^{2022}$ και να βρείτε το τελευταίο του ψηφίο χωρίς υπολογιστή;

Η λύση όμως είναι πιο απλή από όσο φαντάζεστε. Ας ξεκινήσουμε κοιτώντας τις πρώτες δυνάμεις του 2 και τα τελευταία τους ψηφία:

Παρατηρούμε ότι τα τελευταία ψηφία επαναλαμβάνονται περιοδικά: {2,4,8,6}

Άρα, για να βρούμε το τελευταίο ψηφίο του $2^{2022}$, πρέπει να βρούμε τη θέση του εκθέτη 2022 μέσα σε αυτόν τον κύκλο περιοδικότητας.

Υπολογίζουμε:

$$2022\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=2$$

Δηλαδή, το τελευταίο ψηφίο του $2^{2022}$ είναι το ίδιο με το τελευταίο ψηφίο του $2^2$, που είναι 4.

Άρα, το τελευταίο ψηφίο του $2^{2022}$ είναι 4!